Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$


Đứng dậy và bước tiếp

#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$

           $\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

           $\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \sum \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$

Sử dụng bất đẳng thức Schur dạng $\frac{x_1^3}{y_1}+\frac{x_2^3}{y_2}+\frac{x_3^3}{y_3}\geqslant \frac{(x_1+x_2+x_3)^3}{3(y_1+y_2+y_3)}$

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+a+b+c+3}\geqslant 3$

          $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+a+b+c+3}\geqslant 3$

          $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2-3+a+b+c}\geqslant 3$

Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$, ta cần chứng minh 

           $\frac{t^3}{t^2+t-3}\geqslant 3\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3) \geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$

Cách khác .Ta có :$\sum \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}=\sum \sqrt[3]{\frac{(a+b)^8}{2(a^2+b^2)}}=\sum \sqrt[3]{\frac{ab(a+b)^8}{2ab(a^2+b^2)}}\geq \sum \sqrt[3]{\frac{ab(a+b)^8}{\frac{(a+b)^4}{16}}}=\sum \sqrt[3]{16ab(a+b)^4}\geq \sum \sqrt[3]{16ab.(4ab)^2}=4\sum ab=12$



#4
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

áp dụng AM-GM ta có P =$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}= \sum \frac{(a+b)^{4}}{\sqrt[3]{(2a^{2}+2b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})}}\geq \sum \frac{3(a+b)^{4}}{4(a^{2}+ab+b^{2})}=9+\sum \frac{3(a^{2}+b^{2})^{2}} {4(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 9+3\doteq 12$

 (do $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq \frac{4}{9}(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$ nên BĐT cuối đúng )

vậy BĐT đc cm


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh