Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$
CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$
#1
Đã gửi 24-01-2014 - 20:50
#2
Đã gửi 24-01-2014 - 21:43
Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$
Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}\leqslant \frac{2+a+b+a^2+b^2}{3}$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$
$\Rightarrow \sum \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}\geqslant \sum \frac{3(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{(a+b)^3}{2+a+b+a^2+b^2}\geqslant 4$
Sử dụng bất đẳng thức Schur dạng $\frac{x_1^3}{y_1}+\frac{x_2^3}{y_2}+\frac{x_3^3}{y_3}\geqslant \frac{(x_1+x_2+x_3)^3}{3(y_1+y_2+y_3)}$
Ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+a+b+c+3}\geqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+a+b+c+3}\geqslant 3$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2-3+a+b+c}\geqslant 3$
Đặt $t=a+b+c \geqslant 3$, ta cần chứng minh
$\frac{t^3}{t^2+t-3}\geqslant 3\Leftrightarrow (t-3)(t^2-3) \geqslant 0$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
- laiducthang98, hoangvtvpvn, canhhoang30011999 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-01-2014 - 07:33
Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3. CMR: $\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}\geqslant 12$
Cách khác .Ta có :$\sum \frac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}=\sum \sqrt[3]{\frac{(a+b)^8}{2(a^2+b^2)}}=\sum \sqrt[3]{\frac{ab(a+b)^8}{2ab(a^2+b^2)}}\geq \sum \sqrt[3]{\frac{ab(a+b)^8}{\frac{(a+b)^4}{16}}}=\sum \sqrt[3]{16ab(a+b)^4}\geq \sum \sqrt[3]{16ab.(4ab)^2}=4\sum ab=12$
- hoangvtvpvn, Hoang Tung 126, buitudong1998 và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 25-01-2014 - 12:28
áp dụng AM-GM ta có P =$\sum \frac{(a+b)^{3}}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^{2}+b^{2})}}= \sum \frac{(a+b)^{4}}{\sqrt[3]{(2a^{2}+2b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2})}}\geq \sum \frac{3(a+b)^{4}}{4(a^{2}+ab+b^{2})}=9+\sum \frac{3(a^{2}+b^{2})^{2}} {4(a^{2}+ab+b^{2})}\geq 9+3\doteq 12$
(do $(a^{2}+b^{2})^{2}\geq \frac{4}{9}(a^{2}+ab+b^{2})^{2}$ nên BĐT cuối đúng )
vậy BĐT đc cm
- Hoang Tung 126 và buitudong1998 thích
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh