Chủ đề này có 5 trả lời

[wtuan159]

Cho 3 số x,y,z >0 và x+y+z=1.Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

[Hoang Tung 126]

Cho 3 số x,y,z >0 và x+y+z=1.Tìm GTLN của $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Ta có :$\sum \frac{x}{x+1}=\sum \frac{x}{x+x+y+z}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{x}{x+z})=\frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{y}{x+y})=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$

[wtuan159]

Ta có :$\sum \frac{x}{x+1}=\sum \frac{x}{x+x+y+z}=\sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{x}{x+z})=\frac{1}{4}(\sum \frac{x}{x+y}+\sum \frac{y}{x+y})=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$

có cách khác ko bạn?

[Ha Manh Huu]

có cách khác ko bạn?

$\sum \frac{x}{x+1}=3-\sum \frac{1}{x+1}\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

[Messi10597]

Ta có: $1-P=(x-\frac{x}{1+x})+(y-\frac{y}{1+y})+(z-\frac{z}{1+z})$

                     $=\frac{x^{2}}{1+x}+\frac{y^{2}}{1+y}+\frac{z^{2}}{1+z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+x+y+z}=\frac{1}{4}$

 $\Rightarrow P\leq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt schwars 

ta có

$P=\sum \frac{x}{x+1}=3-\sum \frac{1}{1+x}\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{3}{4}$

 

p/s: vội vàng post nên bây giờ xem lại mới thấy đã có cách này rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 25-01-2014 - 13:02