Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

minmax

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
LukaTTK

LukaTTK

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$



#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$

$P=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)\left [ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z)^{2}}{2} \right ]$

$P=(x+y+z)\left [ 2+\frac{2-(x+y+z)^{2}}{2} \right ]=(x+y+z)\left [ 3-\frac{(x+y+z)^{2}}{2} \right ]$

Đặt $x+y+z=t,\left | t \right |\leq \sqrt{6}$ ( Bunnhiacovski) 

Ta được $P(t)=3t-\frac{1}{2}t^{3}$

$P'(t)=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{2},P(\pm \sqrt{6})=0;P(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2};P(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$

Kết luận : 

$MaxP=2\sqrt{2},MinP=-2\sqrt{2}$



#3
buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết

$P=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)\left [ x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z)^{2}}{2} \right ]$

$P=(x+y+z)\left [ 2+\frac{2-(x+y+z)^{2}}{2} \right ]=(x+y+z)\left [ 3-\frac{(x+y+z)^{2}}{2} \right ]$

Đặt $x+y+z=t,\left | t \right |\leq \sqrt{6}$ ( Bunnhiacovski) 

Ta được $P(t)=3t-\frac{1}{2}t^{3}$

$P'(t)=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{2},P(\pm \sqrt{6})=0;P(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2};P(\sqrt{2})=2\sqrt{2}$

Kết luận : 

$MaxP=2\sqrt{2},MinP=-2\sqrt{2}$

Ngoài cách Đạo hàm còn cách nào không Hùng?


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: minmax

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh