Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=1. CMR: $\sum \sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}\leqslant \frac{1}{abc}$
CMR: $\sum \sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}\leqslant \frac{1}{abc}$
#1
Đã gửi 26-01-2014 - 16:35
#2
Đã gửi 26-01-2014 - 16:48
Cho a, b, c dương thỏa mãn : ab+bc+ca=1. CMR: $\sum \sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}\leqslant \frac{1}{abc}$
Ta có :$\sqrt{3}(\sum \frac{1}{a}+6\sum a)=\sqrt{3}(\frac{ab+bc+ac+6abc(\sum a)}{abc})=\sqrt{3}(\frac{1+6abc(\sum a)}{abc})\leq \sqrt{3}(\frac{1+2(\sum ab)^2}{abc})=\sqrt{3}(\frac{1+2}{abc})=\frac{3\sqrt{3}}{abc}=\frac{\sqrt{27}}{abc}$
Theo Bunhiacopxki có :$\sum \sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}\leq \sqrt[4]{27(\sum \frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b)}\leq \frac{1}{abc}$
- nghiemthanhbach và Hoang Tung 126 thích
#3
Đã gửi 30-01-2014 - 11:44
mình có cách khác như sau BĐT cần chứng minh tương đương với $\sum \sqrt[4]{a^{3}b^{4}c^{4}(\sqrt{3}+6\sqrt{3}ab)}\leq 1$
dùng AM- GM cho 4 số 9abc ,9abc,9abc và $\sqrt{3}bc+6\sqrt{3}ab^{2}c$ thì đc BĐT cần chứng minh
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh