Câu I: 1) giải pt : $2\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{5x+3}=2+\sqrt[3]{10x^{2}+x-3}$
2) giả sử $x_{1};x_{2},x_{3}$ là nghiệm của pt$x^{3}-8x+3=0$ .CMR: $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}$
Câu II: 1) CMR nếu $a^{2}+4b^{2}-2ab \vdots 11$ thì$4a^{3}-b^{3}\vdots 11$
2)Với a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b$\leq 2$ Tìm Max của: P=$\sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}$
Câu III: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là đường kính của (O). M,N$\epsilon BC$ sao cho $OM//AB, ON//AC$. DM cắt AB tại E.DN cắt AC tại F.
1) CMR EF đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
2) Gọi DM,DN lần lượt cắt đường tròn (O) tại P,Q khác D. CMR: BC=DP=DQ
Câu IV: Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:
$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{12abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$
Câu 3:Hình vẽ bị lỗi nên không fix được.
(a):Gọi H là trực tâm $\Delta ABC$.,DH giao BC tại $I$. Ta có :$BH\perp AC,DC\perp AC= >$BH song song $DC$
Tương tự : HC song song BD .Từ đó dẫn đến $BHCD$ là hình bình hành hay $I$ là trung điểm $BC$
-$= > HI=ID$(1). Do OM song song AB ,AO=OD nên OM là đường trung bình $\Delta AED$
$= > EM=MD$(2) .Từ (1),(2) $= > MI$ là đường trung bình tam giác EHD nên $MI$ song song $EH$ hay $EH$ song song BC.(3)
-Tương tự $FH$ song song BC .(4) .
Từ (3),(4) $= > E,H,F$ thẳng hàng hay $EF$ đi qua trực tâm H của tam giác $ABC$
(b): Nối OM giao BD tại K.Ta có :$BK=KD,MK\perp BD= > \Delta BMD$ cân tại $M$.$= > \widehat{KMD}=\widehat{KMB}=\widehat{ABC}=\widehat{AEH}$(Do MK song song AB, EH song song BC)(5)
Do $\widehat{MKD}=\widehat{BED}=\widehat{AEP}$((6)
Từ (5) và (6) $= > \widehat{AEP}=\widehat{AEH}= > \Delta AEP=\Delta AEH$(Do 2 góc $\widehat{APE}=\widehat{AHE}=90$ và AE chung ,$\widehat{AEP}=\widehat{AEH}$)
$= > \widehat{PAH}=\widehat{EAH}=\widehat{BAH}=\widehat{BCH}= > \widehat{PAB}=\widehat{BCH}=\widehat{BCP}$(Do tứ giác APBC nội tiếp )
$= > \widehat{BCH}=\widehat{BCP}= > \overline{P,H,C}$ .Do $HC$ song song BD nên $PC$ song song BD nên $BPCD$ là hình thang cân (Do BPCD nội tiếp ) $= > BC=PD$ .Tương tự $BC=DQ$
$= > BC=DP=DQ$