Chủ đề này có 9 trả lời

[Master Key 99]

Câu I: 1) giải pt : $2\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{5x+3}=2+\sqrt[3]{10x^{2}+x-3}$

            2) giả sử $x_{1};x_{2},x_{3}$ là nghiệm của pt$x^{3}-8x+3=0$ .CMR: $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}$

Câu II: 1) CMR nếu $a^{2}+4b^{2}-2ab \vdots 11$ thì$4a^{3}-b^{3}\vdots 11$

            2)Với a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b$\leq 2$ Tìm Max của: P=$\sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}$

Câu III: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là đường kính của (O). M,N$\epsilon BC$ sao cho $OM//AB, ON//AC$. DM cắt AB tại E.DN cắt AC tại F.

1) CMR EF đi qua trực tâm H của tam giác ABC.

2) Gọi DM,DN lần lượt cắt đường tròn (O) tại P,Q khác D. CMR: BC=DP=DQ

Câu IV: Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:

                 $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{12abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

[Dam Uoc Mo]

Câu 4 nhé: Từ BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow \frac{12abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}$. (1)

Lại có $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ĐPCM. 

[Dam Uoc Mo]

Câu 2:

Ý 2: $P=\sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}=\sqrt{a}.\sqrt{b+3}+\sqrt{b}.\sqrt{a+3}\leq \sqrt{(a+b)(b+3+a+3)}\leq \sqrt{2.(2+6)}=4.$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a+3}}{\sqrt{b+3}};a>0,b>0;a+b=2\Leftrightarrow a=b=1.$

[Hoang Tung 126]

Câu I: 1) giải pt : $2\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{5x+3}=2+\sqrt[3]{10x^{2}+x-3}$

            2) giả sử $x_{1};x_{2},x_{3}$ là nghiệm của pt$x^{3}-8x+3=0$ .CMR: $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}=3x_{1}x_{2}x_{3}$

Câu II: 1) CMR nếu $a^{2}+4b^{2}-2ab \vdots 11$ thì$4a^{3}-b^{3}\vdots 11$

            2)Với a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b$\leq 2$ Tìm Max của: P=$\sqrt{a(b+3)}+\sqrt{b(a+3)}$

Câu III: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). AD là đường kính của (O). M,N$\epsilon BC$ sao cho $OM//AB, ON//AC$. DM cắt AB tại E.DN cắt AC tại F.

1) CMR EF đi qua trực tâm H của tam giác ABC.

2) Gọi DM,DN lần lượt cắt đường tròn (O) tại P,Q khác D. CMR: BC=DP=DQ

Câu IV: Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:

                 $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{12abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

Câu 3:Hình vẽ bị lỗi nên không fix được. 

(a):Gọi H là trực tâm $\Delta ABC$.,DH giao BC tại $I$. Ta có :$BH\perp AC,DC\perp AC= >$BH song song $DC$

Tương tự : HC song song BD .Từ đó dẫn đến $BHCD$ là hình bình hành hay $I$ là trung điểm $BC$

-$= > HI=ID$(1). Do OM song song AB ,AO=OD nên OM là đường trung bình $\Delta AED$

$= > EM=MD$(2) .Từ (1),(2) $= > MI$ là đường trung bình tam giác EHD nên $MI$ song song $EH$ hay $EH$ song song BC.(3)

-Tương tự $FH$ song song BC .(4) .

Từ (3),(4) $= > E,H,F$ thẳng hàng hay $EF$ đi qua trực tâm H của tam giác $ABC$

(b): Nối OM giao BD tại K.Ta có :$BK=KD,MK\perp BD= > \Delta BMD$ cân tại $M$.$= > \widehat{KMD}=\widehat{KMB}=\widehat{ABC}=\widehat{AEH}$(Do MK song song AB, EH song song BC)(5)

Do $\widehat{MKD}=\widehat{BED}=\widehat{AEP}$((6)

Từ (5) và (6) $= > \widehat{AEP}=\widehat{AEH}= > \Delta AEP=\Delta AEH$(Do 2 góc $\widehat{APE}=\widehat{AHE}=90$ và AE chung ,$\widehat{AEP}=\widehat{AEH}$)

$= > \widehat{PAH}=\widehat{EAH}=\widehat{BAH}=\widehat{BCH}= > \widehat{PAB}=\widehat{BCH}=\widehat{BCP}$(Do tứ giác APBC nội tiếp )

$= > \widehat{BCH}=\widehat{BCP}= > \overline{P,H,C}$ .Do $HC$ song song BD nên $PC$ song song BD nên $BPCD$ là hình thang cân (Do BPCD nội tiếp ) $= > BC=PD$ .Tương tự $BC=DQ$

   $= > BC=DP=DQ$

[bangbang1412]

 Nói chung đề dễ , chém có 40p là ra rồi mà dám thị không cho

Câu chia hết đưa về $(a-b)^{2}+3b^{2}$ xét các số $x,y$ bất kỳ luôn có $x^{2},3y^{2}\equiv 0,1,3,4,5,9 (mod11)$ từ đó chứng minh được cả $a,b$ chia hết $11$ ( không mẹo như đáp án ) 

[caybutbixanh]

Câu 4 nhé: Từ BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow \frac{12abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}$. (1)

Lại có $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ĐPCM. 

Bạn cho mình biết BDT (2) là BDT gì vậy ?

[laiducthang98]

Bạn cho mình biết BDT (2) là BDT gì v

Ta có :$(\sum \frac{a^2}{b^2+c^2})(\sum \frac{b^2+c^2}{a^2})\geq 9$ 

$<=>(\sum \frac{a^2}{b^2+c^2})(\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2})\geq 9$

<=>$<=>(\sum \frac{a^2}{b^2+c^2})\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$ 

[laiducthang98]

Câu I: 1) giải pt : $2\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x-1} =2+\sqrt[3]{10x^{2}+x-3}$

Đặt $a=\sqrt[3]{2x-1} ,b=\sqrt[3]{5x+3}$ ta có phương trình : $2a+b=2+ab$ $<=>(2-b)(a-1)=0$ 

[Dam Uoc Mo]

Bạn cho mình biết BDT (2) là BDT gì vậy ?

Hì,đây chỉ là "hình dạng" khác của cái nè nè bạn:$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}.$ (BĐT Nesbit)

[Hoang Tung 126]

Nói chung đề này dễ thật Câu cuối tưởng tổ hợp ai dè...............