Chủ đề này có 3 trả lời

[Kudo Shinichi]

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Tìm max và min của : $P=\frac{x^2+y^2+4z^2}{(x+y+z)^2}$

[luuvanthai]

Đặt $\frac{x}{x+y+z}=a;\frac{y}{x+y+z}=b;\frac{z}{x+y+z}=c\Rightarrow a+b+c=1$

$P=a^{2}+b^{2}+4c^{2}$

Dùng bunhiacopxki có $(a^{2}+b^{2}+4c^{2})(1^{2}+1^{2}+\frac{1}{4})\geq (a+b+c)^{2}=1$

Dấu = có được khi $a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}$

Max $P=(a+b)^{2}+4c^{2}-2ab\leq (1-c)^{2}+4c^{2}$=$f(c)$ với $0\leq c\leq 1$ (vì $ab\geq 0$)

Khảo sát f(c) với $0\leq c\leq 1$ được $f(c)\leq f(1)=4$

Dấu = có được khi $a=b=0;c=1$

[Kudo Shinichi]

 

Dấu = có được khi $a=b=0;c=1$

Khi $a=b=0$ thì $x=y=0$ nhưng $x, y$ ở đây là các số thực dương mà bạn

[luuvanthai]

Khi $a=b=0$ thì $x=y=0$ nhưng $x, y$ ở đây là các số thực dương mà bạn

Vậy thì bài này k có max