Chủ đề này có 3 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$.CMR :

 $A=\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{abc}\geq 30$

[Hoang Tung 126]

Mọi người góp ý cho nhiều lời giải vì đây là bài toán hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 27-01-2014 - 10:41

[kfcchicken98]

a+b+c=1, suy ra $1\geq 3(ab+bc+ca)$

bđt tương đương $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{9abc}+\frac{1}{9abc}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+18abc}+\frac{7}{9abc}=\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+18(a+b+c)abc}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6(ab+bc+ca)^{2}}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}+21=\frac{9}{(a+b+c)^{2}}+21=30$

[lahantaithe99]

$(a+b+c)(ab+bc+ac)=ab+bc+ac=\sum ab(a+b)+3abc\geq 9abc$ (=$AM-GM$)

$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 18abc$

Do đó

$A\geq \frac{1}{1-18abc}+\frac{1}{abc}$

$\geq \frac{10^2}{1+63abc}$ (áp dụng bđt S.Vac xơ cho $1$ số $\frac{1}{1-18abc}$ và $9$ số $\frac{1}{9abc}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}$

Suy ra $A\geq \frac{10^2}{1+63abc}\geq \frac{10^2}{1+\frac{7}{3}}=30$