Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\frac{a}{13}=\frac{b}{10}=\frac{c}{5}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

$1$ Cho tam giác $ABC$ và $K,L,M$ lần lượt nằm trên các cạnh $AB,BC,AC$ sao cho $\frac{AK}{AB}=\frac{BL}{BC}=\frac{CM}{CA}=\frac{1}{3}$. Biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp $AKM,BLK,CML$ bằng nhau. CHứng minh tam giác $ABC$ đều.

$2$.Cho tam gáic $ABC$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$ cắt trung tuyến $BM$ tại $K$ và $H$ $($$H$ ở giữa $B$ và $K$ $)$ sao cho ta luôn có $BH=HK=KM$. Chứng minh rằng $\frac{a}{13}=\frac{b}{10}=\frac{c}{5}$

 


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#2
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

Gọi $R$ là bán kinh đường tròn ngoại tiếp $\Delta AKM,BLK,CML$.

Ta có: $KL=2RsinB,\; LM=2RsinC,\; MK=2RsinA$

$\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta KLM$

và $S_{AKM}=S_{BKL}=S_{CLM}=\frac{2}{9}S_{ABC}$

$\Rightarrow KM=\frac{1}{\sqrt{3}}a.$

Áp dụng định lí hàm số cos, ta có:  $a^2=b^2+c^2-2bccosA$

$\Rightarrow \frac{1}{3}a^2= \frac{4}{9}b^2+\frac{1}{9}c^2-2.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}cosA$

$\Rightarrow a^2+c^2=2b^2.$

Bằng cách tương tự $\Rightarrow  b^2+c^2=2a^2,a^2+b^2=2c^2$

$\Rightarrow a=b=c$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều (đpcm)

 

 

Hình gửi kèm

  • Capture.JPG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 29-01-2014 - 14:16


#3
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

$\;Goi \; R\;la \; ban\;kinh \; duong\; tron\;ngoai \;tiep \;cac \; tam \; giac\\;AKM,BLK,CML,

 

\; ta\;co: KL=2RsinB,LM=2RsinC,MK=2RsinA\rightarrow \Delta ABC\sim \Delta KLM \; va\;S_{AKM}=S_{BKL}=S_{CLM}=\frac{2}{9}S_{ABC} \rightarrow KM=\frac{1}{\sqrt{3}}a. Ap\; dung\;dly \;ham \; so\; cosin,\;ta \;co: \; a^2=b^2+c^2-2bccosA\rightarrow \frac{1}{3}a^2= \frac{4}{9}b^2+\frac{1}{9}c^2-2.\frac{2}{3}.\frac{1}{3}cosA\rightarrow a^2+c^2=2b^2. Bang\; cach\; tuong\;tu \; \rightarrow \; b^2+c^2=2a^2,a^2+b^2=2c^2\rightarrow a=b=c\rightarrow \Delta ABC\; la\; tam\;giac \;deu(dpcm) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$

Bạn nên fix lại Latex đi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh