Đến nội dung

Hình ảnh

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện :

 

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}$$

 


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện :

 

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}\;\;\;(1)$$

Quy nạp là chắc chắn rồi :))

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(y)=f(-y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$

Trong $(1)$ cho $x=y$ được $f(2x)=4f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$

Trong $(1)$ cho $x=2y$ được $$f(3y)+f(y)=2f(2y)+2f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow f(3y)=2f(2y)+f(y)=8f(y)+f(y)=9f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$$

Vậy ta dự đoán rằng $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\mathbb{Q}$ $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :

$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$

Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}\;\;\;\;(2)$ là đúng với mọi số nguyên dương $n$

Trong $(2)$ cho $x=\dfrac{1}{n}\in \mathbb{Q}$ được $$f(1)=n^{2}f\left ( \dfrac{1}{n} \right )\Rightarrow f\left ( \dfrac{1}{n} \right )=\dfrac{f(1)}{n^2}$$

Trong $(2)$ cho $x=m/n$ ($m,n$ nguyên dương) được $$f\left ( \dfrac{m}{n} \right )=m^2f\left ( \dfrac{1}{n} \right )=\dfrac{m^{2}}{n^{2}}f(1)\Rightarrow f(x)=ax^2,\;\forall x\in \mathbb{Q^+},a\in \mathbb{R}$$

Và với $x\in \mathbb{Q},x<0$ thì $f(x)=f(-x)=a(-x)^2=ax^2$. Kết hợp với $f(0)=0$ ta được $f(x)=ax^{2},\;\forall x\in \mathbb{Q},a\in \mathbb{R}$

Thử lại thỏa mãn. 

Kết luận : Có duy nhất một hàm số thỏa mãn đề bài là $f(x)=ax^2,\;\forall x\in \mathbb{Q},a\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-01-2014 - 15:35

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Gợi ý : dùng quy nạp chứng minh : $f(x)=f(1).x^2.

 

Ngoài ra nếu thêm dữ kiện liên tục ( như bài hàm THTT tháng 12/2013 ) hoặc đơn điệu ta sẽ tìm được hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-01-2014 - 12:53

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Quy nạp là chắc chắn rồi :))

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(y)=f(-y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$

Trong $(1)$ cho $x=y$ được $f(2x)=4f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$

Trong $(1)$ cho $x=2y$ được $$f(3y)+f(y)=2f(2y)+2f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow f(3y)=2f(2y)+f(y)=8f(y)+f(y)=9f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$$

Vậy ta dự đoán rằng $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\mathbb{Q}$ $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :

$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)x^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$

$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#5
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$

Vì theo đề bài thì ta có $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)\Rightarrow f(x+y)=-f(x-y)+2f(x)+2f(y)$

Ở đây thì $x=nx$ và $y=x$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Vì theo đề bài thì ta có $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)\Rightarrow f(x+y)=-f(x-y)+2f(x)+2f(y)$

Ở đây thì $x=nx$ và $y=x$

Mình đâu có nói cái này sai đâu mà cậu viết sai chỗ dòng bôi đỏ kia kìa ::))) Cụ thể chỗ $(n+1)^{2}.f(x)$ đó ..Bị nhầm thành $(n+1)x^{2}.f(x)$ !!!


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#7
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Mình đâu có nói cái này sai đâu mà cậu viết sai chỗ dòng bôi đỏ kia kìa : :))) Cụ thể chỗ $(n+1)^{2}.f(x)$ đó ..Bị nhầm thành $(n+1)x^{2}.f(x)$ !!!

:lol:  Tinh mắt thế :3


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh