Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện :
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}$$
Bài toán : Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện :
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y \in \mathbb{Q}\;\;\;(1)$$
Quy nạp là chắc chắn rồi
Lời giải :
Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(y)=f(-y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$
Trong $(1)$ cho $x=y$ được $f(2x)=4f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$
Trong $(1)$ cho $x=2y$ được $$f(3y)+f(y)=2f(2y)+2f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow f(3y)=2f(2y)+f(y)=8f(y)+f(y)=9f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$$
Vậy ta dự đoán rằng $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\mathbb{Q}$ $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$
Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}\;\;\;\;(2)$ là đúng với mọi số nguyên dương $n$
Trong $(2)$ cho $x=\dfrac{1}{n}\in \mathbb{Q}$ được $$f(1)=n^{2}f\left ( \dfrac{1}{n} \right )\Rightarrow f\left ( \dfrac{1}{n} \right )=\dfrac{f(1)}{n^2}$$
Trong $(2)$ cho $x=m/n$ ($m,n$ nguyên dương) được $$f\left ( \dfrac{m}{n} \right )=m^2f\left ( \dfrac{1}{n} \right )=\dfrac{m^{2}}{n^{2}}f(1)\Rightarrow f(x)=ax^2,\;\forall x\in \mathbb{Q^+},a\in \mathbb{R}$$
Và với $x\in \mathbb{Q},x<0$ thì $f(x)=f(-x)=a(-x)^2=ax^2$. Kết hợp với $f(0)=0$ ta được $f(x)=ax^{2},\;\forall x\in \mathbb{Q},a\in \mathbb{R}$
Thử lại thỏa mãn.
Kết luận : Có duy nhất một hàm số thỏa mãn đề bài là $f(x)=ax^2,\;\forall x\in \mathbb{Q},a\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 29-01-2014 - 15:35
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Gợi ý : dùng quy nạp chứng minh : $f(x)=f(1).x^2.
Ngoài ra nếu thêm dữ kiện liên tục ( như bài hàm THTT tháng 12/2013 ) hoặc đơn điệu ta sẽ tìm được hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-01-2014 - 12:53
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Quy nạp là chắc chắn rồi
Lời giải :
Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(y)=f(-y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$
Trong $(1)$ cho $x=y$ được $f(2x)=4f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$
Trong $(1)$ cho $x=2y$ được $$f(3y)+f(y)=2f(2y)+2f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow f(3y)=2f(2y)+f(y)=8f(y)+f(y)=9f(y),\;\forall y\in \mathbb{Q}$$
Vậy ta dự đoán rằng $f(nx)=n^2f(x),\;\forall x\mathbb{Q}$ $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)x^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f\left ( (n-1)x \right )+2f(nx)+2f(x)=-(n-1)^2f(x)+2n^2f(x)+2f(x)=(n+1)^2f(x),\;\forall x\in \mathbb{Q}$$
Vì theo đề bài thì ta có $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)\Rightarrow f(x+y)=-f(x-y)+2f(x)+2f(y)$
Ở đây thì $x=nx$ và $y=x$
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Vì theo đề bài thì ta có $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)\Rightarrow f(x+y)=-f(x-y)+2f(x)+2f(y)$
Ở đây thì $x=nx$ và $y=x$
Mình đâu có nói cái này sai đâu mà cậu viết sai chỗ dòng bôi đỏ kia kìa :) Cụ thể chỗ $(n+1)^{2}.f(x)$ đó ..Bị nhầm thành $(n+1)x^{2}.f(x)$ !!!
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
Mình đâu có nói cái này sai đâu mà cậu viết sai chỗ dòng bôi đỏ kia kìa : ) Cụ thể chỗ $(n+1)^{2}.f(x)$ đó ..Bị nhầm thành $(n+1)x^{2}.f(x)$ !!!
Tinh mắt thế :3
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh