Chưa có bài trả lời

[hoangtrong2305]

Quy trình tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất gọi là tối ưu hoá, là ứng dụng rất quan trọng của vi phân. Quy trình này giống như tìm lợi nhuận tối đa của một công ty, hay giảm thiểu giá thành, hay số lượng vật liệu ít nhất để tạo ra một sản phẩm nào đó. Những thứ này có ý nghĩa rất quan trọng trong các ngành công nghiệp.

 

Ví dụ 1: Lợi nhuận hằng ngày $P$ của một nhà máy lọc dầu thoả công thức:

$$P=8x-0,02x^{2}$$

với $x$ là số lượng thùng dầu đã lọc được. Với bao nhiêu thùng dầu thì công ty sẽ đạt lợi nhuận cao nhất? Giá trị lợi nhuận ấy là bao nhiêu?

 

Trả lời

Spoiler

Lợi nhuận đạt giá trị cao nhất (thấp nhất) khi: $\frac{dP}{dx}=0$

$$\frac{dP}{dx}=8-0,04x=0\Leftrightarrow x=200$$

Liệu đây có phải là giá trị lớn nhất chưa?

$\frac{d^{2}P}{dx^{2}}=-0,04<0;\forall x$, vậy ta có giá trị lớn nhất.

Khi $x=200,P=800$ đồng

Vậy nếu như nhà máy lọc được $200$ thùng/ ngày sẽ đạt được lợi nhuận cao nhất là 800 đồng

 

Ví dụ 2: Một khu vực chứa hàng hình chữ nhật được xây sát, dọc theo chiều cao của 1 toà nhà. Một hàng rào an ninh được thiết kế nằm ở 3 mặt còn lại của khu vực đấy. Hỏi nếu có $800m$ hàng rào bao quanh thì diện tích tối đa của khu vực này là bao nhiêu?

 

Trả lời

Spoiler

Ta có diện tích là $A=xy$

Từ hình vẽ ta có $2x+y=800\Leftrightarrow y=800-2x$

Vậy diện tích là $A=x(800-2x)=800x-2x^{2}$

Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính $\frac{dA}{dx}=0\Leftrightarrow 800-4x=0\Leftrightarrow x=200$

Liệu $x=200$ có là giá trị lớn nhất hay không, ta tính:

$$\frac{d^{2}A}{dx^{2}}=-4<0;\forall x$$

Vậy $x=200$ là giá trị lớn nhất.

Vậy diện tích lớn nhất xảy ra khi $x=200,y=400$. Từ đó ta tính được diện tích là:

$$A=200\times 400=80000m^{2}=8\, \text{ha}$$

 

Ví dụ 3: Một hộp có đáy hình vuông, không có nắp. Nếu ta sử dụng $64cm^{2}$ vật liệu thì thể tích tối đa của cái hộp là bao nhiêu?

 

Trả lời

Spoiler

Mở 4 mặt có cạnh chung với mặt đáy ra, ta được ảnh sau:

Thể tích hình hộp là $V=x^{2}y$

Ta biết diện tích bề mặt của hộp là $64\, \text{cm}^{2}$. Diện tích mặt đáy là $x^{2}$ và diện tích mỗi mặt bên là $xy$. Vậy diện tích toàn phần của hộp là

$$x^{2}+64xy=64\, {cm}^{2}$$

Chuyển vế theo $y$, ta được $y=\frac{16}{x}-\frac{x}{4}$

Ta viết lại thể tích:

$$V=x^{2}y=16x-\frac{x^{3}}{4}$$

Bây giờ:

$$\frac{dV}{dx}=16-\frac{3x^{2}}{4}$$

$$\frac{dV}{dx}=0\Leftrightarrow 16-\frac{3x^{2}}{4}=0$$

$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{8}{\sqrt{3}}\approx 4,62$$

(Lưu ý rằng trường hợp âm không xảy ra vì không có ý nghĩa)

Ta kiểm tra xem giá trị $x$ có phải giá trị lớn nhất chưa, bằng cách:

$$\frac{d^{2}V}{dx^{2}}=-\frac{3x}{2}<0;\forall x>0$$

Vậy $x$ tìm được là giá trị lớn nhất

Vậy kích thước của hộp là:

Đáy: $4,62\, \text{cm}\times 4,62\, \text{cm}$

Các mặt bên: $4,62\, \text{cm}\times 2,31\, \text{cm}$

Thể tích tối đa của hộp là:

$$4,62\times 4,62 \times 2,31\approx 49,3\, \text{cm}^{3}$$

Thử lại: Diện tích vật liệu là:

$$x^{2}+4xy=21,3+4\times 4,62\times 2,31=64$$

Kết quả thử lại phù hợp.

 

Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân

Bài trước: Sử dụng vi phân để vẽ đồ thị.

Bài tiếp: Bán kính cong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 30-01-2014 - 00:25