-Trước hết ta chứng minh :$l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$.Gọi a,b,c theo thứ tự là độ dài 3 cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC
Theo công thức đường phân giác và định lý Cos trong tam giác có:
$l_{b}=\frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{a+c}\leq \frac{2ac.cos\frac{B}{2}}{2\sqrt{ac}}=\sqrt{ac}.cos\frac{B}{2}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+cosB}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}}{2}}=\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{(a+c)^2-b^2}{2ac}}=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+c-b)}{4}}=\sqrt{\frac{2p.2(p-b)}{4}}=\sqrt{p(p-b)}$ $= > l_{b}\leq \sqrt{p(p-b)}$
Tương tự $l_{c}\leq \sqrt{p(p-c)}$
$= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}$(1)
Theo công thức trung tuyến có:$4m_{a}^2=2(b^2+c^2)-a^2=(b+c)^2-(a^2-(b-c)^2)=(b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(b+c+\sqrt{a^2-(b-c)^2})\leq (b+c-\sqrt{a^2-(b-c)^2})(a+b+c)=2p(b+c-\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)})=2p(b+c-2\sqrt{(p-b)(p-c)})=2p(2p-(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2)= > p(\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2\leq 2p^2-2m_{a}^2= > \sqrt{p(p-b)}+\sqrt{p(p-c)}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}$ (2)
Từ (1),(2) $= > l_{b}+l_{c}\leq \sqrt{2p^2-2m_{a}^2}= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq m_{a}+\sqrt{2}.\sqrt{p^2-m_{a}^2}\leq \sqrt{3(m_{a}^2+p^2-m_{a}^2)}=\sqrt{3p^2}=p\sqrt{3}$(Do áp dụng bđt bunhiacopxki)
$= > l_{b}+l_{c}+m_{a}\leq p\sqrt{3}$(3)
-Tiếp theo ta CM :$m_{b}+m_{c}+l_{a}\leq p\sqrt{3}$
Ta có:$m_{b}+m_{c}=\sqrt{\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}}+\sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}$