Chủ đề này có 5 trả lời

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR :

  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3a}{a^2+2bc}+\frac{3b}{b^2+2ac}+\frac{3c}{c^2+2ab}$

[kfcchicken98]

bđt tương đương với $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{a}{a^{2}+2bc}\geq \sum \frac{2a}{a^{2}+2bc}$

tương đương $\sum \frac{bc}{a(a^{2}+2bc)}\geq \sum \frac{a}{a^{2}+2bc}$

đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}; c= \frac{1}{z}$

bđt tương đương $\sum \frac{x^{3}}{2x^{2}+yz}\geq \sum \frac{xyz}{2x^{2}+yz}$

có $\sum \frac{xyz}{2x^{2}+yz}\leq \frac{xyz(x+y+z)^{2}}{(xy+yz+xz)^{2}}$

$\sum \frac{x^{3}}{2x^{2}+yz}\geq \frac{3xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(xy+yz+xz)^{2}}$

do $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}$

suy ra dpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 30-01-2014 - 11:40

[Hoang Tung 126]

do bđt thuần nhất nên chuẩn hoá $abc=1$

có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a}{a^{2}}+ \frac{c}{bc}+ \frac{b}{bc}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{a^{2}+2bc}\geq \frac{9}{a^{2}+2bc}$

tương tự, rồi cộng 3 vế ra đpcm

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

$= >$BĐT $< = > \sum x\geq \frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{2}{yz}}< = > \sum x\geq \frac{xyz}{2x^2+yz}$

Ta có :$xyz(\sum \frac{1}{2x^2+yz})=3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(2x^2+yz)(\frac{(y+z)^2}{2}+yz)})\leq 3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(xy+yz+xz)^2})=\frac{3xyz(\sum x)^2}{(\sum xy)^2}\leq \sum x< = > (\sum xy)^2\geq 3xyz(\sum x)< = > \sum (xy-yz)^2\geq 0$(Luôn đúng)

[Hoang Tung 126]

do bđt thuần nhất nên chuẩn hoá $abc=1$

có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a}{a^{2}}+ \frac{c}{bc}+ \frac{b}{bc}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}{a^{2}+2bc}\geq \frac{9}{a^{2}+2bc}$

tương tự, rồi cộng 3 vế ra đpcm

Cách chuẩn hóa này không phải bài nào cũng làm được đâu

[kfcchicken98]

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$

$= >$BĐT $< = > \sum x\geq \frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{x^2}+\frac{2}{yz}}< = > \sum x\geq \frac{xyz}{2x^2+yz}$

Ta có :$xyz(\sum \frac{1}{2x^2+yz})=3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(2x^2+yz)(\frac{(y+z)^2}{2}+yz)})\leq 3xyz(\sum \frac{\frac{(y+z)^2}{2}+yz}{(xy+yz+xz)^2})=\frac{3xyz(\sum x)^2}{(\sum xy)^2}\leq \sum x< = > (\sum xy)^2\geq 3xyz(\sum x)< = > \sum (xy-yz)^2\geq 0$(Luôn đúng)

đã sửa lại 

[Hoang Tung 126]

đã sửa lại 

Sao vậy bạn