Chủ đề này có 1 trả lời

[Nonosaki Akiho]

giai he pt:

 

 

$\left\{\begin{matrix}y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} & \\ 8xy^{3}+2y^{3}+1\geq4x^{2}+2\sqrt{1+(2x+y)^{2}} & \end{matrix}\right.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nonosaki Akiho: 30-01-2014 - 21:38

[mystery266]

giai he pt:

 

 

$\left\{\begin{matrix}y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} & \\ 8xy^{3}+2y^{3}+1\geq4x^{2}+2\sqrt{1+(2x+y)^{2}} & \end{matrix}\right.$

điều kiện

 

$-x^2y^2+xy\geq 0\Rightarrow 0\leq xy\leq 1$

 

vì $xy\geq 0$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có

 

$y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy(1-xy)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2y^6+2y^3+4x^2\leq 1$ kết hợp BPT(2)

 

ta có hệ bất phương trình sau

 

$\left\{\begin{matrix} 8xy^3+2y^3+1\geq 4x^2+2\sqrt{1+(2x+y)^2}\\ 1\geq 2y^6+2y^3+4x^2 \end{matrix}\right.$

 

cộng vế theo vế

 

$\Leftrightarrow 8xy^3+2\geq 8x^2+2y^6+2\sqrt{1+(2x+y)^2}(3)$

 

theo bất đẳng thức AM-GM  $8x^2+2y^6\geq 8xy^3(4)$

 

cộng vế theo vế (3) và (4)$\Leftrightarrow 2\geq 2\sqrt{1+(2x+y)^2}$

 

$\Leftrightarrow 0\geq (2x+y)^2$ dấu '=' xảy ra khi $2x+y=0\Rightarrow y=-2x$

 

thay vào PT(1) của hệ ban đầu đến đây tạm ổn