Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 01-02-2014 - 15:32

1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

 

2.x,y dương thỏa mãn x+y=2011 tìm Min,Max P=x($x^{2}+y$) +y($y^{2}+x$)

 

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

 

4.I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S,nửa chu vi p chứng minh IA + IB + IC $\geq \frac{6S}{p}$

 

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

 

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

 

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

 

8.cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB,AC. chứng minh $\frac{AC}{MH}+\frac{AB}{MK}4$



#2 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 01-02-2014 - 15:51



1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

 

2.x,y dương thỏa mãn x+y=2011 tìm Min,Max P=x($x^{2}+y$) +y($y^{2}+x$)

 

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

 

4.I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S,nửa chu vi p chứng minh IA + IB + IC $\geq \frac{6S}{p}$

 

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

 

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

 

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

 

8.cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB,AC. chứng minh $\frac{AC}{MH}+\frac{AB}{MK}4$

Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 01-02-2014 - 15:53


#3 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 01-02-2014 - 15:58

câu 7,

áp dụng bđt schwars ta có

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

cmtt ta có

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\leq \frac{1}{16}(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z})= \frac{1}{16}.32=2$

vậy Max P=2

dấu bằng  xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 01-02-2014 - 16:45


#4 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 01-02-2014 - 16:30

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 01-02-2014 - 19:57


#5 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 01-02-2014 - 16:33

câu 7,

áp dụng bđt schwars ta có

P=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{16}.32=2$

vậy Max P=2

dấu bằng  xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{8}$

A viết rõ hộ e phần $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})

vì e chưa học cái dấu $\sum$



#6 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-02-2014 - 16:56

Cái này là trong đề thi hả bạn?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 01-02-2014 - 16:58

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#7 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-02-2014 - 17:39

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

Đặt $A=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$.

$\Leftrightarrow A=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}+\frac{1}{(y+z)+(y+x)}+\frac{1}{(z+y)+(z+x)}$. Áp dụng BĐT Cô-si S-vác ta có:

$A\leq \frac{1}{4}(\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}.8=2$. Dấu "=" khi và chỉ khi x=y=z=$\frac{3}{8}$

P/s: Rõ ràng rồi nhé bạn!


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#8 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-02-2014 - 18:20

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#9 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 01-02-2014 - 19:31

1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

 

2.x,y dương thỏa mãn x+y=2011 tìm Min,Max P=x($x^{2}+y$) +y($y^{2}+x$)

 

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

 

4.I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S,nửa chu vi p chứng minh IA + IB + IC $\geq \frac{6S}{p}$

 

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

 

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

 

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

 

8.cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB,AC. chứng minh $\frac{AC}{MH}+\frac{AB}{MK}4$

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#10 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 01-02-2014 - 20:47

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

là $x^2+y^2+z^2=3$



#11 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-02-2014 - 20:53

 

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

 

 

Áp dụng $AM-GM$

$1.\frac{b+c}{a}\leq (\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2})^2=(\frac{a+b+c}{2a})^2$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Làm tương tự với các phân thức còn lại ta có

$\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b+c & & \\ b=a+c & & \\ c=a+b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a+b+c=0$ (vô lí vì $a,b,c>0$)

Vậy không xảy ra dấu $=$



#12 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 01-02-2014 - 20:57



Áp dụng $AM-GM$

$1.\frac{b+c}{a}\leq (\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2})^2=(\frac{a+b+c}{2a})^2$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Làm tương tự với các phân thức còn lại ta có

$\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b+c & & \\ b=a+c & & \\ c=a+b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a+b+c=0$ (vô lí vì $a,b,c>0$)

Vậy không xảy ra dấu $=$

 

 



1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

 

 



Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

 

 



câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

 

 



Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

http://diendantoanho...28302430203041/

http://diendantoanho...-tròn-nội-tiếp/

http://diendantoanho...tính-bc-theo-r/

 

mọi người giúp mình mấy bài này nữa ,tks :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruffer: 01-02-2014 - 22:05


#13 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-02-2014 - 22:29

 

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

 

 

Ta có

$a+b+c=abc\Leftrightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$

$\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}$

Do đó$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})=\frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$



#14 Huuduc921996

Huuduc921996

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-02-2014 - 23:29

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

$(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x})^2=(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2+2(x^2+y^2+z^2)=6+(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2$

Mà theo bất đẳng thức AM-GM: 

$(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2\geq x^2+y^2+z^2=3$



#15 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 01-02-2014 - 23:33

$(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x})^2=(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2+2(x^2+y^2+z^2)=6+(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2$

Mà theo bất đẳng thức AM-GM: 

$(\frac{xy}{z})^2+(\frac{xz}{y})^2+(\frac{zy}{x})^2\geq x^2+y^2+z^2=3$

Thế thì biểu thức ban đầu lớn hơn hoặc bằng 9 à! Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#16 Huuduc921996

Huuduc921996

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-02-2014 - 23:36

Thế thì biểu thức ban đầu lớn hơn hoặc bằng 9 à! Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bạn xem kĩ lại đi. Bình phương rồi mà!



#17 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 02-02-2014 - 00:44



Bạn xem kĩ lại đi. Bình phương rồi mà!

 



1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

Mình có cách này hay nè:

58635292.gg.jpg


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#18 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 02-02-2014 - 14:29

Bạn xem kĩ lại đi. Bình phương rồi mà!

 

 

Thế thì biểu thức ban đầu lớn hơn hoặc bằng 9 à! Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

 

 

Ta có

$a+b+c=abc\Leftrightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$

$\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}$

Do đó$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})=\frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

 

 

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

 

 

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

 

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

 

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

 

 

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

 

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

 

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

 

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

 

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$



#19 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 02-02-2014 - 14:40

Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

 

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

 

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

 

 

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

 

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

 

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

 

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

 

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$



#20 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 02-02-2014 - 15:08



8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

Mình xin làm ngay câu này:

58636628.gg.jpg

P/s: Cái này là làm trên word xong chụp ảnh đăng lên đây đấy mọi người! :)


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh