Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi 01-02-2014 - 16:13

1.cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì ( D khác A,B),trên đường kính AB lấy C.Kẻ CH vuông góc với AD tại H,phân giác trong của $\angle DAB$ cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F,DF cắt đường tròn (O) tại N.Chứng minh

a)Ba điểm N,C,E thẳng hàng

b)Nếu AD+BC thì DN đi qua trung điểm của AC

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$

 

 

 



#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 08-02-2014 - 00:15



2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$

Lời giải. Gọi độ dài ba cạnh tam giác $ABC$ là $a,b,c$. Ta có $p= \frac{a+b+c}{2}$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lý Pythagores thì $$AI= \sqrt{r^2+ \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2}, IB= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+c-b}{2} \right)^2}, \\ IC= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\begin{array}{l} (1+3) \left[ r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2 \right] \ge \left( r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2} \right)^2 \\ \Rightarrow 2CI \ge r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2}. \end{array}$$

Chứng minh tương tự ta được $2(AI+BI+CI) \ge 3r+ \frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2}$.

Mặt khác $r \cdot p=S$ nên $r= \frac{S}{p}$ suy ra $\frac{6S}{p}=6r$. Ta cần chứng minh

$$\begin{aligned} \sqrt 3(a+b+c) \ge 18r &  \Leftrightarrow (a+c+b)^2 \ge 12 \sqrt 3S \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3 \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \end{aligned}$$

Dễ chứng minh được rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc \le \frac{(a+b+c)^3}{27}$ nên $\frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2} \ge 9r$ suy ra $IA+IB+IC \ge 6r= \frac{6S}{p}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều. $\blacksquare$


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 08-02-2014 - 08:39

Lời giải. Gọi độ dài ba cạnh tam giác $ABC$ là $a,b,c$. Ta có $p= \frac{a+b+c}{2}$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lý Pythagores thì $$AI= \sqrt{r^2+ \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2}, IB= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+c-b}{2} \right)^2}, \\ IC= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\begin{array}{l} (1+3) \left[ r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2 \right] \ge \left( r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2} \right)^2 \\ \Rightarrow 2CI \ge r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2}. \end{array}$$

Chứng minh tương tự ta được $2(AI+BI+CI) \ge 3r+ \frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2}$.

Mặt khác $r \cdot p=S$ nên $r= \frac{S}{p}$ suy ra $\frac{6S}{p}=6r$. Ta cần chứng minh

$$\begin{aligned} \sqrt 3(a+b+c) \ge 18r &  \Leftrightarrow (a+c+b)^2 \ge 12 \sqrt 3S \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3 \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \end{aligned}$$

Dễ chứng minh được rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc \le \frac{(a+b+c)^3}{27}$ nên $\frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2} \ge 9r$ suy ra $IA+IB+IC \ge 6r= \frac{6S}{p}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều. $\blacksquare$

Sao đoạn này k dùng BĐT Mincopxiky có nhanh hơn ko  :closedeyes:


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh