Đến nội dung

Hình ảnh

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ruffer

Ruffer

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

1.cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì ( D khác A,B),trên đường kính AB lấy C.Kẻ CH vuông góc với AD tại H,phân giác trong của $\angle DAB$ cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F,DF cắt đường tròn (O) tại N.Chứng minh

a)Ba điểm N,C,E thẳng hàng

b)Nếu AD+BC thì DN đi qua trung điểm của AC

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$

 

 

 



#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết


2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$

Lời giải. Gọi độ dài ba cạnh tam giác $ABC$ là $a,b,c$. Ta có $p= \frac{a+b+c}{2}$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lý Pythagores thì $$AI= \sqrt{r^2+ \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2}, IB= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+c-b}{2} \right)^2}, \\ IC= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\begin{array}{l} (1+3) \left[ r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2 \right] \ge \left( r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2} \right)^2 \\ \Rightarrow 2CI \ge r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2}. \end{array}$$

Chứng minh tương tự ta được $2(AI+BI+CI) \ge 3r+ \frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2}$.

Mặt khác $r \cdot p=S$ nên $r= \frac{S}{p}$ suy ra $\frac{6S}{p}=6r$. Ta cần chứng minh

$$\begin{aligned} \sqrt 3(a+b+c) \ge 18r &  \Leftrightarrow (a+c+b)^2 \ge 12 \sqrt 3S \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3 \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \end{aligned}$$

Dễ chứng minh được rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc \le \frac{(a+b+c)^3}{27}$ nên $\frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2} \ge 9r$ suy ra $IA+IB+IC \ge 6r= \frac{6S}{p}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều. $\blacksquare$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Lời giải. Gọi độ dài ba cạnh tam giác $ABC$ là $a,b,c$. Ta có $p= \frac{a+b+c}{2}$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lý Pythagores thì $$AI= \sqrt{r^2+ \left( \frac{b+c-a}{2} \right)^2}, IB= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+c-b}{2} \right)^2}, \\ IC= \sqrt{r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2}.$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$\begin{array}{l} (1+3) \left[ r^2+ \left( \frac{a+b-c}{2} \right)^2 \right] \ge \left( r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2} \right)^2 \\ \Rightarrow 2CI \ge r+ \frac{(a+b-c) \cdot \sqrt 3}{2}. \end{array}$$

Chứng minh tương tự ta được $2(AI+BI+CI) \ge 3r+ \frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2}$.

Mặt khác $r \cdot p=S$ nên $r= \frac{S}{p}$ suy ra $\frac{6S}{p}=6r$. Ta cần chứng minh

$$\begin{aligned} \sqrt 3(a+b+c) \ge 18r &  \Leftrightarrow (a+c+b)^2 \ge 12 \sqrt 3S \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^2 \ge 3 \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\ & \Leftrightarrow (a+b+c)^3 \ge 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \end{aligned}$$

Dễ chứng minh được rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc \le \frac{(a+b+c)^3}{27}$ nên $\frac{ \sqrt 3(a+b+c)}{2} \ge 9r$ suy ra $IA+IB+IC \ge 6r= \frac{6S}{p}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\triangle ABC$ đều. $\blacksquare$

Sao đoạn này k dùng BĐT Mincopxiky có nhanh hơn ko  :closedeyes:


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh