Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvtvpvn]

Tồi tại hay không một tập hợp gồm $2014$ số nguyên dương với tính chất: loại bất cứ số nào ra khỏi tập hợp đi thì tập hợp $2013$ số còn lại có thể chia thành $2$ tập con với tổng các số (thuộc mỗi tập con đó) là bằng nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LNH: 02-02-2014 - 10:55

[dinhthanhhung]

Tồi tại hay không một tập hợp gồm $2014$ số nguyên dương với tính chất: loại bất cứ số nào ra khỏi tập hợp đi thì tập hợp $2013$ số còn lại có thể chia thành $2$ tập con với tổng các số (thuộc mỗi tập con đó) là bằng nhau

 

Không tồn tại !

 

Đầu tiên , ta chứng minh rằng nếu có 1 tập như vậy thì tất cả các số trong tập phải bằng nhau .

Ta xét tập nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên và tất cả không cùng bằng nhau !

Dễ thấy bỏ đi 1 số bất kì trong tập thì tổng các số còn lại chia hết cho 2 nên số bỏ đi phải đồng dư với tổng các số trong tập với modulo 2

Tương tự như vậy ta có nhận xét quan trọng là các số trong tập phải cùng tính chẵn lẻ .

Trường hợp 1 , các số đều chẵn , ta xét tập gồm các số là thương của các số trong tập trên chia cho 2 . Dễ thấy tập này thoả mãn nhưng lại nhỏ hơn tập ban đầu -> vô lí !

Trường hợp 2 , các số đều lẻ , ta xét tập gồm các số là thương của các số trên sau khi cộng thêm 1 rồi chia cho 2 . Tập này nhỏ hơn và thoả mãn -> vô lí !

Vậy nhận xét được chứng minh .

Sau cùng ta thấy 2013 số bằng nhau không chia được thành 2 tập tổng các số bằng nhau .