Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 1003 số hữu tỉ khác 0 trong đó 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
universe

universe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Cho 1003 số hữu tỉ khác 0 trong đó 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất 1000 số bằng nhau.



#2
mnguyen99

mnguyen99

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 696 Bài viết

Cho 1003 số hữu tỉ khác 0 trong đó 4 số bất kì nào trong chúng cũng có thể lập thành một tỉ lệ thức. Chứng minh rằng trong các số đã cho có ít nhất 1000 số bằng nhau.

Đặt 1003 số đó như sau:$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq a_{4}\leq ...\leq a_{1003}$

lấy 4 số bất kiì trong dãy sao cho $a_{m}\leq a_{n}\leq a_{p}\leq a_{q}$

ta nhận thấy biểu thức sau luôn đúng :$a_{m}.a_{q}=a_{n}.a_{p}$

Xét 4 số đầu của dãy ta có $a_{1}.a_{4}=a_{2}.a_{3}$

goi một số $a_{i}$ nào đó sao cho $a_{i}\geq a_{4}$

tỉ lệ thức giữa $a_{1},a_{i},a_{2},a_{3}$ là $a_{1}.a_{i}=a_{2}.a_{3}$$\geq a_{1}.a_{4}$

do đó $a_{i}=a_{4}$

Vậy có ít nhất 1000 số bằng nhau.

 


THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$??? 

 

TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026


#3
universe

universe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đặt 1003 số đó như sau:$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq a_{4}\leq ...\leq a_{1003}$

lấy 4 số bất kiì trong dãy sao cho $a_{m}\leq a_{n}\leq a_{p}\leq a_{q}$

ta nhận thấy biểu thức sau luôn đúng :$a_{m}.a_{q}=a_{n}.a_{p}$

Xét 4 số đầu của dãy ta có $a_{1}.a_{4}=a_{2}.a_{3}$

goi một số $a_{i}$ nào đó sao cho $a_{i}\geq a_{4}$

tỉ lệ thức giữa $a_{1},a_{i},a_{2},a_{3}$ là $a_{1}.a_{i}=a_{2}.a_{3}$$\geq a_{1}.a_{4}$

do đó $a_{i}=a_{4}$

Vậy có ít nhất 1000 số bằng nhau.

mình post cách giải của mình bạn xem đúng không:

Lấy 6 số bất kì trong 1003 số.

*Giả sử trong 6 số đó không tồn tại 3 số bằng nhau.

-TH1: Tồn tại ít nhất 5 trong 6 số đôi một khác nhau.

Gọi 5 số đó là a,b,c,d,e.

Giải sử $a< b< c< d< e$.

Dễ thấy ad=bc; ae=bc.

Vậy d=e (mâu thuẫn).

-TH2: Không tồn tại 5 số trong 6 số đã cho đôi một khác nhau.

Gọi 6 số đã cho là m,n,p,q,u,v.

Theo giả thiết không tồn tại 3 số bằng nhau nên ta giả sử: m=n, p=q.

+ Nếu u=v (m,p,u là 3 số đôi một khác nhau)

Xét 4 số m,n,p,u. Vì $p\neq u$ nên ta có: mn=pu=qv

$\Rightarrow m^{4}=puqv\Rightarrow m^{6}=mnpquv$

Tương tự, ta chứng minh được $m^{6}=n^{6}=p^{6}=q^{6}=u^{6}=v^{6}$

$\Rightarrow m=n=p=q=u=v$ (mâu thuẫn)

+Nếu u<v.

Xét 4 số m,n,u,v, ta có: uv=mn

Xét 4 số p,q,u,v, tacó: uv=pq

Vậy mn=pq (mâu thuẫn vì m=n, p=q và m khác p).

Tóm lại, giả thiết đưa ra sai.

Vậy trong 6 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau.

Gọi 3 số đó là x,y,z.

Xét 1 số i bất kì trong 997 số còn lại với x,y,z tạo thành 1 tỉ lệ thức thì i=x=y=z.

Vậy trong 1003 số đã cho có ít nhất 1000 số bằng nhau.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh