Chủ đề này có 2 trả lời

[stupidperson]

a,b,c> 0 thỏa : a+b+c=1.CMR :

    $\frac{a^{2}+b}{b+c} +\frac{b^{2}+c}{c+a}+\frac{c^{2}+a}{a+b}$ $\geq 2$

[kfcchicken98]

$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+\sum a=\frac{a^{2}+ab+ac+b}{b+c}=\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3$

suy ra dpcm

[hoctrocuanewton]

$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+\sum a=\frac{a^{2}+ab+ac+b}{b+c}=\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3$

suy ra dpcm

mình nghĩ chỗ này cần viết rõ ra để mọi người hiểu

$\sum \frac{a^{2}+ab+ac+b}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+b}{b+c}= \sum \frac{a+b}{b+c}= \sum \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)b+c)}$

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{(a+b)^{2}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+3\sum ab}= \frac{4(a+b+c)^{2}}{\frac{4}{3}(a+b+c)^{2}}= 3$

suy ra

$\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3\Rightarrow \sum \frac{a^{2}+b}{b+c}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 03-02-2014 - 08:34