cho a,b,c>0. ab+bc+ca=1
CMR $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8aabc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
cho a,b,c>0. ab+bc+ca=1
CMR $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8aabc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
cho a,b,c>0. ab+bc+ca=1
CMR $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8aabc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Gỉa sử $a\geq b\geq c$
$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)
Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Gỉa sử $a\geq b\geq c$
$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)
dấu = khi $ab+bc+ca+c^{2}=ab+bc+ca$, tương đương c= 0?
dấu = khi $ab+bc+ca+c^{2}=ab+bc+ca$, tương đương c= 0?
Không phải đâu bạn .Dấu = xảy ra ở bđt cuối .Cái đấy để thêm biến thôi
cho a,b,c>0. ab+bc+ca=1
CMR $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{8aabc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Ta chứng minh $\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$
Thật vậy BĐT trên $\frac{1}{2}.\frac{\sum \left ( a-b \right )^{2}}{\sum ab}-\frac{\sum c\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 0$
Theo nguyên lí S.O.S BDDT trên đúng
Do đó BĐT ban đầu được chứng minh
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Ta chứng minh $\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$
Thật vậy BĐT trên $\frac{1}{2}.\frac{\sum \left ( a-b \right )^{2}}{\sum ab}-\frac{\sum c\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 0$
Theo nguyên lí S.O.S BDDT trên đúng
Do đó BĐT ban đầu được chứng minh
em chưa học SOS
em chưa học SOS
SOS là phương pháp đưa về các tổng bình phương lớn hơn 0 thôi
Ta chứng minh $\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$
Thật vậy BĐT trên $\frac{1}{2}.\frac{\sum \left ( a-b \right )^{2}}{\sum ab}-\frac{\sum c\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 0$
Theo nguyên lí S.O.S BDDT trên đúng
Do đó BĐT ban đầu được chứng minh
anh co the làm cụ thể hơn không
Ta chứng minh $\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$
Thật vậy BĐT trên $\frac{1}{2}.\frac{\sum \left ( a-b \right )^{2}}{\sum ab}-\frac{\sum c\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 0$
Theo nguyên lí S.O.S BDDT trên đúng
Do đó BĐT ban đầu được chứng minh
anh co the làm cụ thể hơn không
Theo phân tích trên thì ta có
$S_{a}=b+c-a-\frac{abc}{ab+bc+ca}$
$S_{b}=a+c-b-\frac{abc}{ab+bc+ca}$
$S_{c}=a+b-c-\frac{abc}{ab+bc+ca}$
Do đó nếu giả sử $a\geq b\geq c$ thì ta thấy $S_{b}\geq 0,S_{a}+S_{b}\geq 0,S_{b}+S_{c}\geq 0$
Theo tiêu chuẩn của nguyên lí S.O.S thì biểu thức trên đó đúng...
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Gỉa sử $a\geq b\geq c$
$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)
phải là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}{ab+bc+ca+c^{2}}$ chứ
phải là $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}{ab+bc+ca+c^{2}}$ chứ
Uhm mình ghi nhầm
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh