Tìm nghiệm nguyên của PT: $y^{3}-1=x^{4}+x^{2}$
$y^{3}-1=x^{4}+x^{2}$
#1
Đã gửi 03-02-2014 - 21:09
#2
Đã gửi 03-02-2014 - 22:31
mình có cách như thế này nhưng ko biết đúng hay ko
trước hết $x=1$ => $y=\sqrt[3]{3}$ nên loại
$y^3 = x^4 + x^2 +1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
lại có $(x^2+x+1, x^2-x+1)=1 (*)$
nên ta chia ra 2 trường hợp
$\left\{\begin{matrix} x^2-x+1=1& & \\ x^2+x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x^2+x+1=1& & \\ x^2-x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
sẽ suy ra nghiệm $x=0$ và $y=1$
chứng minh $(*)$
Gọi $d$ là ƯCLN$(x^2+x+1, x^2-x+1)$
=> lập hiệu $x^2+x+1- x^2+x-1 = 2x$
=> $d$ là ước của $2x$
mà ta đều có $x^2 + x +1 =x(x+1)+1$ và $x^2- x +1 =x(x-1)+1$ đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2 và đều chia x dư 1 => không chia hết cho $2x$
=> $d=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Chi Thanh 3003: 03-02-2014 - 22:38
- DarkBlood và PolarBear154 thích
#3
Đã gửi 05-02-2014 - 19:27
mình có cách như thế này nhưng ko biết đúng hay ko
trước hết $x=1$ => $y=\sqrt[3]{3}$ nên loại
$y^3 = x^4 + x^2 +1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$
lại có $(x^2+x+1, x^2-x+1)=1 (*)$
nên ta chia ra 2 trường hợp
$\left\{\begin{matrix} x^2-x+1=1& & \\ x^2+x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x^2+x+1=1& & \\ x^2-x+1=y^3& & \end{matrix}\right.$
sẽ suy ra nghiệm $x=0$ và $y=1$
chứng minh $(*)$
Gọi $d$ là ƯCLN$(x^2+x+1, x^2-x+1)$
=> lập hiệu $x^2+x+1- x^2+x-1 = 2x$=> $d$ là ước của $2x$
mà ta đều có $x^2 + x +1 =x(x+1)+1$ và $x^2- x +1 =x(x-1)+1$ đều là số lẻ nên ko chia hết cho 2 và đều chia x dư 1 => không chia hết cho $2x$
=> $d=1$
mình nghĩ không đúng bởi vì chẳng hạn y = p.q với p,q là 2 số nguyên tố thì cái chữ đỏ đấy ko đúng
- Nguyen Chi Thanh 3003 và yeutoan2001 thích
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh