Chủ đề này có 1 trả lời

[ilovelife]

Với $a \in [2,6],\ b \in [3,7],\ c \in [4,8]$, tính số nghiệm nguyên của phương trình (không tính các hoán vị):
$1.\ \ \ a + b + c = 18 $

$2.\ \ \ a + b + c = k   $

$k$ nhận giá trị nào để số nghiệm nguyên của phương trình là lớn nhất, nhỏ nhất

 

 

 

Theo tính toán sơ bộ của mình thì kết quả lần lượt là:

10, 15, (21 hoặc 9)

 

 

[chanhquocnghiem]

Với $a \in [2,6],\ b \in [3,7],\ c \in [4,8]$, tính số nghiệm nguyên của phương trình (không tính các hoán vị):
$1.\ \ \ a + b + c = 18 $

$2.\ \ \ a + b + c = k   $

$k$ nhận giá trị nào để số nghiệm nguyên của phương trình là lớn nhất, nhỏ nhất

 

 

 

Theo tính toán sơ bộ của mình thì kết quả lần lượt là:

10, 15, (21 hoặc 9)

$1)$

Đặt $a=2+d$ ; $b=3+e$ ; $c=4+f$ ($d,e,f\in \left [ 0,4 \right ]$)

Với các ĐK của $a,b,c,d,e,f$ thì số nghiệm nguyên của pt $a+b+c=18$ cũng là số nghiệm nguyên của pt $d+e+f=18-2-3-4=9$

+ Nếu $d=0\Rightarrow e+f=9\Rightarrow 0$ nghiệm.

+ Nếu $d=1\Rightarrow e+f=8\Rightarrow 1$ nghiệm

+ Nếu $d=2\Rightarrow e+f=7\Rightarrow 2$ nghiệm

+ Nếu $d=3\Rightarrow e+f=6\Rightarrow 3$ nghiệm

+ Nếu $d=4\Rightarrow e+f=5\Rightarrow 4$ nghiệm

$\Rightarrow$ pt đã cho có tất cả $10$ nghiệm nguyên.

 

$2)$

Tương tự, số nghiệm nguyên pt $a+b+c=k$ cũng là số nghiệm nguyên của $d+e+f=k-9$

+ Nếu $d=0\Rightarrow e+f=k-9\Rightarrow 0$ nghiệm nếu $k\leqslant 8$ hoặc $k\geqslant 18$ ; $1$ nghiệm nếu $k=9$ hoặc $k=17$ ; $2$ nghiệm nếu $k=10$ hoặc $k=16$ ; $3$ nghiệm nếu $k=11$ hoặc $k=15$ ; $4$ nghiệm nếu $k=12$ hoặc $k=14$ ; $5$ nghiệm nếu $k=13$

+ Nếu $d=1\Rightarrow e+f=k-10\Rightarrow 0$ nghiệm nếu $k\leqslant 9$ hoặc $k\geqslant 19$ ; $1$ nghiệm nếu $k=10$ hoặc $k=18$ ; $2$ nghiệm nếu $k=11$ hoặc $k=17$ ; $3$ nghiệm nếu $k=12$ hoặc $k=16$ ; $4$ nghiệm nếu $k=13$ hoặc $k=15$ ; $5$ nghiệm nếu $k=14$

+ Nếu $d=2\Rightarrow e+f=k-11\Rightarrow 0$ nghiệm nếu $k\leqslant 10$ hoặc $k\geqslant 20$ ; $1$ nghiệm nếu $k=11$ hoặc $k=19$ ; $2$ nghiệm nếu $k=12$ hoặc $k=18$ ; $3$ nghiệm nếu $k=13$ hoặc $k=17$ ; $4$ nghiệm nếu $k=14$ hoặc $k=16$ ; $5$ nghiệm nếu $k=15$

+ Nếu $d=3\Rightarrow e+f=k-12\Rightarrow 0$ nghiệm nếu $k\leqslant 11$ hoặc $k\geqslant 21$ ; $1$ nghiệm nếu $k=12$ hoặc $k=20$ ; $2$ nghiệm nếu $k=13$ hoặc $k=19$ ; $3$ nghiệm nếu $k=14$ hoặc $k=18$ ; $4$ nghiệm nếu $k=15$ hoặc $k=17$ ; $5$ nghiệm nếu $k=16$

+ Nếu $d=4\Rightarrow e+f=k-13\Rightarrow 0$ nghiệm nếu $k\leqslant 12$ hoặc $k\geqslant 22$ ; $1$ nghiệm nếu $k=13$ hoặc $k=21$ ; $2$ nghiệm nếu $k=14$ hoặc $k=20$ ; $3$ nghiệm nếu $k=15$ hoặc $k=19$ ; $4$ nghiệm nếu $k=16$ hoặc $k=18$ ; $5$ nghiệm nếu $k=17$

Vậy nếu gọi $s_{k}$ là số nghiệm nguyên của pt $a+b+c=k$ thì :

$s_{k}=0$ nếu $k\leqslant 8$ hoặc $k\geqslant 22$

$s_{9}=s_{21}=1$

$s_{10}=s_{20}=1+2$

$s_{11}=s_{19}=1+2+3$

$s_{12}=s_{18}=1+2+3+4$

$s_{13}=s_{17}=1+2+3+4+5$

$s_{14}=s_{16}=2+3+4+5+4$

$s_{15}=3+4+5+4+3$

$\Rightarrow$ số nghiệm nguyên lớn nhất là $19$ khi $k=15$ và nhỏ nhất là $0$ khi $k\leqslant 8$ hoặc $k\geqslant 22$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 09-02-2014 - 15:49