Chủ đề này có 8 trả lời

[tanh]

Bài 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :

a) $ (a+b+c)^2 \leq 9bc$ ( với a $\leq $ b \leq  c)

b) Biết tam giác ABC có diện tích =1.

CMR : $a^4 + b^4 + c^4 \geq 16$

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Bài 3 : Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd=1

CMR : $ \frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1+cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

 

Bài 4 : Cho a, b, c >0. 

CMR : $\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{a^2 + ac + c^2} \geq \frac{a+ b+ c}{3} $

 

Bài 5 : Cho a, b, c >0

CMR : $(a^2 -bc).\sqrt{b+c} + (b^2 - ca).\sqrt{c+a} + (c^2 - ab).\sqrt{a+b} \geq 0$

 

Bài 6 : Cho a, b, c >0. CMR :

a) $ \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{c+1} \leq 2 $

b) $ \frac{1}{a^2 + bc} + \frac{1}{b^2 + ac} + \frac{1}{c^2 + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc} $

 

Bài 7 : Cho $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $.

CMR : $ \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{3}{2} \leq \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 +y} + \frac{1}{1 + z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanh: 04-02-2014 - 10:47

[PolarBear154]

Ta có  a+b+c$\leq$ b+b+c=2b+c, cần chứng minh (2b+c)^{2}$\leq$ 9bc
bđt này tương đương với 4b^2 - 5bc +c^2 $\leq$0 hay (b-c)(4b-c) $\leq$0.
Thật vậy b-c $\leq$0 (do gthiết b$\leq$ c)
c<a+b $\leq$b+b=2b <4b nên 4b-c>0
Vậy (b-c)(4b-c) $\leq$0. BĐT đc chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

[PolarBear154]

mấy bài nì hình như trong quyển chuẩn bị thi vào chuyên thì phải:)

[kfcchicken98]

bài 2 $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+c^{5}}\leq \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{abc}{ab(a+b+abc}=\frac{c}{a+b+c}$, tương tự có đpcm

bài 7$\sum \frac{x}{1+x^{2}}\leq \sum \sum \frac{x}{2x}=\frac{3}{2}$

$\sum \frac{1}{1+x}\geq \sum \frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}$

bài 4 $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum a-\frac{ab(a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum a-\frac{a+b}{3}=\frac{a+b+c}{3}$

bài 6 $\frac{a^{2}+bc}{abc}=\frac{a}{bc}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{bc}}\geq \frac{4}{b+c}$

suy ra $\sum \frac{abc}{a^{2}+bc}\geq \frac{a+b+c}{2}$ dpcm

[canhhoang30011999]

Bài 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :

a) $ (a+b+c)^2 \leq 9bc$ ( với a $\leq $ b \leq  c)

b) Biết tam giác ABC có diện tích =1.

CMR : $a^4 + b^4 + c^4 \geq 16$

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Bài 3 : Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd=1

CMR : $ \frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1+cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

 

Bài 4 : Cho a, b, c >0. 

CMR : $\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{a^2 + ac + c^2} \geq \frac{a+ b+ c}{3} $

 

Bài 5 : Cho a, b, c >0

CMR : $(a^2 -bc).\sqrt{b+c} + (b^2 - ca).\sqrt{c+a} + (c^2 - ab).\sqrt{a+b} \geq 0$

 

Bài 6 : Cho a, b, c >0. CMR :

a) $ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} + \frac{c}{c+1} \leq 2 $

b) $ \frac{1}{a^2 + bc} + \frac{1}{b^2 + ac} + \frac{1}{c^2 + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc} $

 

Bài 7 : Cho $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $.

CMR : $ \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{3}{2} \leq \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 +y} + \frac{1}{1 + z}$

6 a

sai đề khi a=b=c=4

[Forgive Yourself]

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Không có $a,b,c>0$ ak?

[Hoang Tung 126]

Bài 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR :

a) $ (a+b+c)^2 \leq 9bc$ ( với a $\leq $ b \leq  c)

b) Biết tam giác ABC có diện tích =1.

CMR : $a^4 + b^4 + c^4 \geq 16$

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Bài 3 : Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd=1

CMR : $ \frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1+cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

 

Bài 4 : Cho a, b, c >0. 

CMR : $\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{a^2 + ac + c^2} \geq \frac{a+ b+ c}{3} $

 

Bài 5 : Cho a, b, c >0

CMR : $(a^2 -bc).\sqrt{b+c} + (b^2 - ca).\sqrt{c+a} + (c^2 - ab).\sqrt{a+b} \geq 0$

 

Bài 6 : Cho a, b, c >0. CMR :

a) $ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} + \frac{c}{c+1} \leq 2 $

b) $ \frac{1}{a^2 + bc} + \frac{1}{b^2 + ac} + \frac{1}{c^2 + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc} $

 

Bài 7 : Cho $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $.

CMR : $ \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{3}{2} \leq \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 +y} + \frac{1}{1 + z}$

Bài 1: Ý b: Theo công thức Heron có:$1=S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= > 16=16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc(a+b+c)\leq a^4+b^4+c^4= > a^4+b^4+c^4\geq 16$

[Hoang Tung 126]

Bài 2: Thực ra đây là bài thi quốc tế năm 2000

 Ta có :$\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3+1)}=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{\sum a}{abc(\sum a)}=\frac{1}{abc}=1$

[lahantaithe99]

 

b) Biết tam giác ABC có diện tích =1.

CMR : $a^4 + b^4 + c^4 \geq 16$

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Bài 3 : Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd=1

CMR : $ \frac{1}{1 + ab + bc + ca} + \frac{1}{1 + bc + cd + db} + \frac{1}{1+cd + da + ac} + \frac{1}{1 + da + ab + bd} \leq 1$

 

Bài 4 : Cho a, b, c >0. 

CMR : $\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{a^2 + ac + c^2} \geq \frac{a+ b+ c}{3} $

 

Bài 5 : Cho a, b, c >0

CMR : $(a^2 -bc).\sqrt{b+c} + (b^2 - ca).\sqrt{c+a} + (c^2 - ab).\sqrt{a+b} \geq 0$

 

Bài 6 : Cho a, b, c >0. CMR :

a) $ \frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} + \frac{c}{c+1} \leq 2 $

b) $ \frac{1}{a^2 + bc} + \frac{1}{b^2 + ac} + \frac{1}{c^2 + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc} $

 

Bài 7 : Cho $ 0 \leq x, y, z \leq 1 $.

CMR : $ \frac{x}{1 + x^2} + \frac{y}{1 + y^2} + \frac{z}{1 + z^2} \leq \frac{3}{2} \leq \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 +y} + \frac{1}{1 + z}$

1b

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =1\Rightarrow p(p-a)(p-b)(p-c)=1$

Ta có $1=p(p-a)(p-b)(p-c)\leq p\frac{(3p-a-b-c)^3}{27}=\frac{p^4}{27}$

$\Rightarrow p^4\geq 27\Rightarrow (a+b+c)^4\geq 432$(1)

Lại có $a^4+b^4+c^4\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c)^4}{27}$(2)

Từ (1)và (2)$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 16$

2. Dễ chứng minh $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$

$\Rightarrow a^5+b^5+ab\geq ab(a^2b+ab^2+1)$

$\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{1}{ab(a+b+c)}$ (do $abc=1$)

Làm tương tự với các phân thức còn lại ta có

$\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1$