Dạo này mọi người ăn tết nên forum vắng quá. Mình góp vui bằng bài toán này:
Cho f là hàm liên tục trên [0,1]. Giả sử tích phân của $\int_0^1f(x)x^ndx=0$ với mọi n=1,2,3,....Chứng minh rằng f(x)=0 trên [0,1]
Ứng dụng của Weierestrass Approximation Theorem
Bắt đầu bởi KoBietDatTenSaoChoHot, 05-02-2014 - 13:24
#1
Đã gửi 05-02-2014 - 13:24
Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...
#2
Đã gửi 05-02-2014 - 20:06
Theo định lí xấp xỉ đa thức của Wierstrass, ta có:
$\forall \varepsilon >0, \exists N: \forall n\geq N\Rightarrow \left \| P_n(x)-f \right \|< \varepsilon $
Do mỗi đa thức đều biểu diễn được dưới dạng tổng các đơn thức nên
$\int_{0}^{1}f(x)P_n(x)dx=\sum_{j=0}^{k_n}\int_{0}^{1}f(x)x^jdx=0\to\int_{0}^{1}f^2dx\Rightarrow \int_{0}^{1}f^2dx=0$
Đến đây thì dễ thấy r.
- bangbang1412 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh