Chủ đề này có 2 trả lời

[huykinhcan99]

Cho $n \in N$, biết $2n$ có $28$ ước tự nhiên, $3n$ có $30$ ước tự nhiên. Hãy tính số ước tự nhiên của $6n$

 

[DarkBlood]

Cho $n \in N$, biết $2n$ có $28$ ước tự nhiên, $3n$ có $30$ ước tự nhiên. Hãy tính số ước tự nhiên của $6n$

Trường hợp 1: $n$ không chia hết cho $2$ và $3.$

Giả sử $n=p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}\ (k\in \mathbb{N}^*\ ;\ p_i \in \mathbb{P}\ ;\ p_i\neq 2,3 \ ;\ \alpha_i\in \mathbb{N}\ ;\ i=\overline{1,k})$

Khi đó 

$2n=2p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(1+1)(\alpha _1+1)(\alpha _2+1)...(\alpha _k+1)=28$ ước tự nhiên.

$3n=2p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(1+1)(\alpha _1+1)(\alpha _2+1)...(\alpha _k+1)=30$ ước tự nhiên.

Suy ra $28=30$ (Vô lý)

 

Trường hợp 2: $n$ chia hết cho $2$ và không chia hết cho $3.$

Giả sử $n=2^a.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ với $a\in \mathbb{N}^*$ $($Điều kiện của $k, p_i, \alpha_i, i$ như trường hợp 1$)$

Khi đó 

$2n=2^{a+1}.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(a+2)(\alpha _1+1)...(\alpha _k+1)=28$ ước tự nhiên.

$3n=3.2^a.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(1+1)(a+1)(\alpha _1+1)...(\alpha _k+1)=30$ ước tự nhiên.

Từ đó tính được $(\alpha _1+1)...(\alpha _k+1)=13,$ suy ra $13|28$ (vô lý)

 

Trường hợp 3: $n$ chia hết cho $3$ và không chia hết cho $2.$

Tương tự suy ra vô lý.

 

Trường hợp 4: $n$ chia hết cho $2$ và $3.$

Giả sử $n=2^a.3^b.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ với $a,b \in \mathbb{N}^*$ $($Điều kiện của $k, p_i, \alpha_i, i$ như trường hợp 1$)$

Đặt $A=(\alpha _1+1)...(\alpha _k+1)$

Khi đó

$2n=2^{a+1}.3^b.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(a+2)(b+1).A=28$ ước tự nhiên. $(1)$

$3n=2^a.3^{b+1}.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ có $(a+1)(b+2).A=30$ ước tự nhiên.

Ta có:

$(a+2)(b+1).A=28 \Leftrightarrow (a+1)(b+1).A+(b+1).A=28$

$(a+1)(b+2).A=30 \Leftrightarrow (a+1)(b+1).A+(a+1).A=30$

Suy ra $(a-b).A=2$

Trường hợp a: $A=1$ và $a=b+2.$

Từ $(1)$ ta có $(b+4)(b+1)=28$ suy ra $b=3.$

Khi đó $a=5.$

Từ đó dễ tính được số ước tự nhiên của $6n.$

Trường hợp b: $A=2$ và $a=b+1.$

Giải tương tự trường hợp a.

[huykinhcan99]

Theo mình thì có thể gộp 4 trường hợp lại như sau, mọi người nhận xét giùm

"Đặt $n=2^a.3^b.p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_k^{\alpha _k}$ $(a;b \in \mathbb {N}\ ;\ k\in \mathbb{N}^*\ ;\ p_i \in \mathbb{P}\ ;\ p_i\neq 2,3 \ ;\ \alpha_i\in \mathbb{N}\ ;\ i=\overline{1,k})$"

Khi $a=b=0$ ta có trường hợp 1

Khi $a \neq 0\ ;\ b = 0$ ta có trường hợp 2

Khi $a=0\ ;\ b\neq 0$ ta có trường hợp 3

Khi $a\neq 0\ ;\ b\neq 0$ ta có trường hợp 4

Liệu làm vậy có đúng không? Mọi người nhận xét giùm.