Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 5$

P/s: Bài này chắc dễ lắm!!!!

 

[Binh Le]

CM

$S=\sum \frac{1}{a^{2}}+a^{2}-\frac{1}{3}(\sum a^{2})\geq 6-\frac{(a+b+c)^{2}}{9}=5$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s: nếu thấy dễ thì đừng post?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 06-02-2014 - 22:32

[kfcchicken98]

CM

$S=\sum \frac{1}{a^{2}}+a^{2}-\frac{1}{3}(\sum a^{2})\geq 6-\frac{(a+b+c)^{2}}{9}=5$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s: nếu thấy dễ thì đừng post?

ngược dấu rồi

[kfcchicken98]

giải: $\sum \frac{1}{a^{2}}+2a+2b+2c\geq 9$

suy ra $\sum \frac{1}{a^{2}}\geq 9-6=3$

$\frac{2}{3}\sum a^{2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^{2}=2$

cộng vào suy ra đpcm

[kfcchicken98]

giải sai

[lovemath99]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. CMR:

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 5$

P/s: Bài này chắc dễ lắm!!!!

 

Theo Cauchy-Schwarz thì:

$\sum \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{3} \sum a^2 \ge \dfrac{(\sum \dfrac{1}{a})^2}{3}+\dfrac{2}{3}.\dfrac{(\sum a)^2}{3} \ge \dfrac{(\dfrac{9}{\sum a})^2}{3}+\dfrac{2}{9} (\sum a)^2=5$

 

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

[nguyenhongsonk612]

Bài này dùng hệ số bất định có vẻ dễ hơn. Ta có lời giải như sau:

C/m bất đẳng thức: 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{2a^{2}}{3}\geq \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$. (1)

Bất đẳng thức này tương đương với $\frac{(a-1)^{2}(2a^{2}+6a+3)}{3a^{2}}\geq 0$ (Đúng)

Tương tự ta cũng có các BĐT $\frac{1}{b^{2}}+\frac{2b^{2}}{3}\geq \frac{7}{3}-\frac{2b}{3}$ (2)

$\frac{1}{c^{2}}+\frac{2c^{2}}{3}\geq \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$ (3)

Từ (1), (2) và (3), cộng vế với vế ta được:

... $\geq 7-\frac{2}{3}(a+b+c)=7-\frac{2}{3}.3=5$. Dấu bằng khi a=b=c=1

P/s: Cũng khá dễ phải không các bạn!!