Chủ đề này có 39 trả lời

[diepviennhi]

 Đề Bài

Giải phương trình lượng giác sau :

$$\sin 4x + 2=\cos 3x + 4\sin x+\cos x$$

Toán thủ ra đề: hoangkkk

Bài làm

Phương trình $$\Leftrightarrow4 sinx.cosx.cos2x - 4sinx = cos3x + cosx - 2\Leftrightarrow 4sinx ( cosx.cos2x - 1) = 2cos2x.cosx - 2 \Leftrightarrow ( 2sinx - 1)( cosx.cos2x - 1)=0$$

* Trường hợp 1: $ sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{ \pi}{6} + k2 \pi  hoặc x= \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi $

* Trường hợp 2: $ cosx.cos2x = 1 \Leftrightarrow 2.cosx.cos2x=2 \Leftrightarrow ( 1-cosx) + (1-cos3x) = 0 \Leftrightarrow 2 sin^{2} \frac{x}{2} + 2sin^{2} \frac{3x}{2}=0 \Leftrightarrow sin^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{3x}{2}=0 $

Do $sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0$  và $sin^{2} \frac{3x}{2} \geq 0$ nên phương trình $ \Leftrightarrow sin \frac{x}{2} =sin \frac{3x}{2}=0

\Leftrightarrow sin \frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x= k2 \pi$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S={ \frac{ \pi}{6} + k2 \pi; \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi ;k2 \pi}$

 

Tình hình là mình đã phải thay mắt kính mới sau khi chấm xong bài của bạn. Bạn nên vào phần xem trước, chỉnh sửa kỹ trước khi nộp bài. Bài của bạn làm đúng, nhưng do trình bày latex bạn không đảm bảo nên mình không thể cho bạn điểm cao.

Bạn chưa nói rõ $k$ là gì.

$\boxed{\text{Điểm bài thi}:4.0}$ 

S=3.7+4*3=15.7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2014 - 20:25
Tổng hợp điểm

[Niels Henrik Abel edu1998]

Ta có sin4x = 2.sin2x.cos2x = 8.sinx.( cosx )^{3} - 4.sinx.cosx

          cos3x = 4.( cosx )^{3} - 3.cosx

Sin4x + 2 = cos3x + 4.sinx + cosx

$\Leftrightarrow$ 8.sinx.( cosx )^{3} - 4.sinx.cosx - 4.( cosx )^{3} - 4.sinx - 2.cosx + 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 4.( 2.sinx - 1 ).( cosx )^{3} - 2.cosx.( 2.sinx - 1 ) -2.( 2.sinx-1 ) = 0

$\Leftrightarrow$ 2.( 2.sinx - 1 ).[ 2.(cosx)^{3} - cosx - 1 ] = 0

 

+TH1: 2.sinx - 1 = 0

$\Rightarrow$ x = 2.k.\pi + \frac {\pi}{6}         ( k là số nguyên ) (Bạn còn thiếu 1 họ nghiệm là $x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi;k \in \mathbb{Z}$)

 

+TH2: 2.(cosx)^{3} - cosx - 1 = 0                      (*)

  $\Rightarrow$ cosx = 1

  $\Rightarrow$ x = 2.k.\pi                              ( k là số nguyên)

 

Vậy phương trình có nghiệm: x = 2.k.\pi + \frac{\pi}{6}       hoặc   x = 2.k.\pi                   ( k là số nguyên )

 

Mặc dù em đã rất cố gắng ghi lệnh trực tiếp để trình bày lời giải bằng Latex (theo cách của thầy CD13)  nhưng gần như sự cố gắng đó của em bằng 0! và càng ngày thì Latex của em càng đơ, bây giờ nó còn không thể mở được trình soạn thảo công thức nữa! Chán....chán.....chán

 

Bạn chưa đặt toàn bộ công thức vào $$ nên đã xảy ra sự cố trên.

Bạn giải thiếu 1 họ nghiệm.

$\boxed{\text{Điểm bài thi:} 2.5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-02-2014 - 20:17

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[Primary]

Ta có:$sin4x=sin(2.2x)=2sin2x.cos2x=2.2sinxcosx.cos2x=4sinx.cosx.cos2x$

          $cos3x+cosx=2.cos\frac{3x+x}{2}.cos\frac{3x-x}{2}=2cos2x.cosx$

Do đó PT $sin4x+2=cos3x+4sinx+cosx< = > 4.sinx.cosx.cos3x+2=2cos2x.cosx+4sinx< = > 4sinx(cosx.cos2x-1)-2(cosx.cos2x-1)=0< = > (2sinx-1)(cosx.cos2x-2)=0< = > 2sinx-1=0$ hoặc $cosx.cos2x-2=0$

-Nếu $2sinx-1=0= > sinx=\frac{1}{2}= > x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,x=\frac{-\pi }{6}+k2\pi$

-Nếu $cosx.cos2x-2=0< = > cosx.cos2x=2< = > cosx(2cos^2x-1)=2< = > 2cos^3x-cosx-2=0$. Đến đây dùng công thức nghiệm bậc 3 để giải là xong

Chỗ này là $\sin$ chứ không phải $\cos$. Bạn sai nghiệm rồi

[phatthemkem]

$\Leftrightarrow$$2sin2x.cos2x+2=2cos2x.cosx+4sinx$

$\Leftrightarrow$$sin2x.cos2x+1=cos2x.cosx+2sinx$

$\Leftrightarrow$$2cos2x.cosx.sinx-cos2x.cosx-2sinx+1=0$

$\Leftrightarrow$$cos2x.cosx.(2sinx-1)-(2sinx-1)=0$

$\Leftrightarrow$$(2sinx-1)(cos2x.cosx-1)=0$

$\Leftrightarrow$$2sinx-1=0$ hoặc $cos2x.cosx-1=0$

$\Leftrightarrow$$sinx=\frac{1}{2}$ hoặc $2cos^{3}x-cosx-1=0$

$\Leftrightarrow$$sinx=\frac{1}{2}$ hoặc $cosx=1$

$\Leftrightarrow$$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=k2\pi$

 

Vậy $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=k2\pi$

Điều kiện của $k$ đâu anh?

[phatthemkem]

Giải:

$(*)\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+2=$ $2\cos x.\cos 3x$ $+4\sin x$

 

$(*)\Leftrightarrow 4\sin x.\cos x.\cos 2x-4\sin x+2-2\cos x.\cos 2x=0$

 

$\Leftrightarrow (4\sin x-2)(\cos x.\cos 2x-1)=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos x.\cos 2x=1 & & \\ \sin x=\frac{1}{2} & & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \cos x=1 & & \\ \cos 2x=1 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} \cos x=-1 & & \\ \cos 2x=-1& & \end{matrix}\right.& & \\ \sin x=\frac{1}{2}& & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2k\pi & & \\ x=k\pi & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\pi+2k\pi & & \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi& & \end{matrix}\right.& & \\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& & x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi& & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2k\pi & & \\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& & \\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi & & \end{bmatrix}$

Nhầm rồi, phải là $2cosx.cos2x$ chứ

[motdaica]

sin 4x +2 = cos 3x + 4 sin x + cos x

$\Leftrightarrow$ 2 sin 2x .cos 2x +2 - 4$cos^{3} x$ -4sinx+2cosx =0
$\Leftrightarrow$ sin 2x.cos 2x + 1 - cos x . ($2cos^{2} x - 1$) -2sinx =0

$\Leftrightarrow$ 2sinx. cosx. cos2x - cos x . cos2x - ( 2sinx -1)=0

$\Leftrightarrow$ cosx. cos2x (2sinx -1) - ( 2sinx -1)=0

$\Leftrightarrow$ (cosx. cos2x -1)( 2sinx - 1) =0

$\Leftrightarrow$ cosx. cos2x =1 hoặc sinx= $\frac{1}{2}$

 

+ với cosx. cos2x =1
do $\left | cos x \right |\leqslant 1$ và $\left | cos 2x \right |\leqslant 1$

 

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} cosx=1\\ cos 2x = 1 \end{matrix}\right.$ 

 

 

hoặc$\left\{\begin{matrix} cosx=-1\\ cos 2x = -1 \end{matrix}\right.$ (vô nghiệm)

$\Leftrightarrow$ x= k$\pi$

 

+ Với sin x = $\frac{1}{2}$

  thì x= $\frac{\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

hoặc x= $\frac{5\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

Vậy có 3 họ nghiệm
x = $\frac{\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

x= $\frac{5\pi}{6}+ k2\pi$ ( k thuộc Z)

x= k$\pi$

bạn làm sai rồi đoạn này nghiệm phải là x=$k2\pi$ nhé ( k thuộc Z)

[motdaica]

Phương trình đã cho tương đương:

$2\sin 2x\cos 2x +2=4\cos ^{3}x-2\cos x+4\sin x$

$\Leftrightarrow 2\sin x(2\cos ^{3}x-\cos x) +1=2\cos ^{3}x-\cos x+2\sin x$

$\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos ^{3}x-\cos x) =2\sin x-1$

$\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos ^{3}x-\cos x-1) =0$

$\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2}\vee 2\cos ^{3}x-\cos x-1 =0$

Với $\sin x=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.

Với $2\cos ^{3}x -\cos x -1 =0$

$\Leftrightarrow \cos x =1\vee \vee 2\cos ^{2}x+2\cos x+1=0$

Với $\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi$

Với $2\cos ^{2}x+2\cos x+1=0$

$\Leftrightarrow \cos ^{2}x+\cos x+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow \cos ^{2}x+2.\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$

$\Leftrightarrow (\cos x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}=0$(vô lý)

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:

$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$

$x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$

$x=k2\pi$

bạn  thiếu điều kiện của k rồi (phải là k thuộc Z) nhớ ghi điều kiện đầy đủ nhé  

[motdaica]

Bài làm

Phương trình $$\Leftrightarrow4 sinx.cosx.cos2x - 4sinx = cos3x + cosx - 2\Leftrightarrow 4sinx ( cosx.cos2x - 1) = 2cos2x.cosx - 2 \Leftrightarrow ( 2sinx - 1)( cosx.cos2x - 1)=0$$

* Trường hợp 1: $ sinx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{ \pi}{6} + k2 \pi  hoặc x= \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi $

* Trường hợp 2: $ cosx.cos2x = 1 \Leftrightarrow 2.cosx.cos2x=2 \Leftrightarrow ( 1-cosx) + (1-cos3x) = 0 \Leftrightarrow 2 sin^{2} \frac{x}{2} + 2sin^{2} \frac{3x}{2}=0 \Leftrightarrow sin^{2} \frac{x}{2} + sin^{2} \frac{3x}{2}=0 $

Do $sin^{2} \frac{x}{2} \geq 0$  và $sin^{2} \frac{3x}{2} \geq 0$ nên phương trình $ \Leftrightarrow sin \frac{x}{2} =sin \frac{3x}{2}=0

\Leftrightarrow sin \frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x= k2 \pi$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S={ \frac{ \pi}{6} + k2 \pi; \frac{5 \pi}{6} + k2 \pi ;k2 \pi}$

Ngoài lỗi latex ra thì ở phần kết luận thiếu điều kiện k thuộc Z

[motdaica]

Giải:

$(*)\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+2=2\cos x.\cos 3x+4\sin x$

 

$(*)\Leftrightarrow 4\sin x.\cos x.\cos 2x-4\sin x+2-2\cos x.\cos 2x=0$

 

$\Leftrightarrow (4\sin x-2)(\cos x.\cos 2x-1)=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos x.\cos 2x=1 & & \\ \sin x=\frac{1}{2} & & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \cos x=1 & & \\ \cos 2x=1 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} \cos x=-1 & & \\ \cos 2x=-1& & \end{matrix}\right.& & \\ \sin x=\frac{1}{2}& & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2k\pi & & \\ x=k\pi & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\pi+2k\pi & & \\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi& & \end{matrix}\right.& & \\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& & x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi& & \end{bmatrix}$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2k\pi & & \\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi& & \\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi & & \end{bmatrix}$

thiếu điều kiện k thuộc Z rồi bạn nhé

[THYH]

Điều kiện của $k$ đâu anh?

a quên nhưng 1 theo sgk chương trình mới thì k cần đk k.tự hiểu..còn a nghĩ thi đại học thì ghi ra cho chắc

[TonnyMon97]

Tại mình học kém, sợ nhận xét sai nên k trích dẫn...

Đã bảo là tập nghiệm là tập hợp đúng k nhỉ???

Có bạn câu kết là tập nghiệm mà kết luận nghiệm, thế có được k??????

[Tran Hoai Nghia]

Trong đề thi đại học nếu ghi họ nghiệm mà không để $k\in \mathbb{Z}$ là bị trừ điểm à

[hoangtrong2305]

Trong đề thi đại học nếu ghi họ nghiệm mà không để $k\in \mathbb{Z}$ là bị trừ điểm à

Đúng vậy bạn, đó là 1 cái bắt buộc (cùng với kết luận họ nghiệm). Nếu bạn không nói rõ, giám khảo chắc chắn sẽ bắt bẻ như $k$ là biến hay là gì, hoặc $k \in \mathbb{R}$ nên cẩn thận vẫn hơn, ghi có mấy giây à, bạn đừng bỏ qua.

[hoangtrong2305]

Hiện thì mình đã chấm xong bài làm của các bạn. Nhìn chung thì đề không khó nên mình nhận xét về cách trình bày có một số vấn đề sau:

- Có bạn chắc thấy đề dễ nên làm qua loa, làm tắt, Trong thi Đại học thì độ khó của đề sẽ tỉ lệ nghịch với độ khó giám khảo chấm bài.

- Nhiều bạn sau khi làm, quên kết luận $k \in \mathbb{Z}$. Đây là lỗi mà cho dù đề dễ hay khó thì giám khảo đều trừ điểm vì kết luận trên có ý nghĩa tuần hoàn cho giá trị nghiệm của phương trình lượng giác. Nếu bạn không ghi rõ thì giám khảo sẽ gán đại 1 giá trị lẻ nào đó cho $k$ dẫn đến kết quả của bạn sai (mặc dù bạn hiểu đề và giải đúng).

- Có nhiều bạn kết luận lại ghi "nghiệm" thay vì "họ nghiệm". Đây là lỗi mà nhiều bạn không để ý đến. "Nghiệm" tức phương trình đó chỉ có 1 giá trị, mà nếu ráp 1 giá trị, ví dụ như $k2 \pi$ thì quả thật phương trình không ra cái gì cả vì $k$ không phải con số cố định. Còn "họ nghiệm" tức phương trình có nhiều nghiệm tuân theo 1 quy tắc, quy luật nào đó. Đối với phương trình lượng giác thì quy tắc đó là tính tuần hoàn của hàm lượng giác, từ đó giá trị $k$ tuy nhiều giá trị nhưng lại có nghĩa. Mình quên chấm phần này nên bạn nào kết luận là "nghiệm" thì mình trừ vào điểm số là $0.5$.

[phatthemkem]

Hiện thì mình đã chấm xong bài làm của các bạn. Nhìn chung thì đề không khó nên mình nhận xét về cách trình bày có một số vấn đề sau:

- Có bạn chắc thấy đề dễ nên làm qua loa, làm tắt, Trong thi Đại học thì độ khó của đề sẽ tỉ lệ nghịch với độ khó giám khảo chấm bài.

- Nhiều bạn sau khi làm, quên kết luận $k \in \mathbb{Z}$. Đây là lỗi mà cho dù đề dễ hay khó thì giám khảo đều trừ điểm vì kết luận trên có ý nghĩa tuần hoàn cho giá trị nghiệm của phương trình lượng giác. Nếu bạn không ghi rõ thì giám khảo sẽ gán đại 1 giá trị lẻ nào đó cho $k$ dẫn đến kết quả của bạn sai (mặc dù bạn hiểu đề và giải đúng).

- Có nhiều bạn kết luận lại ghi "nghiệm" thay vì "họ nghiệm". Đây là lỗi mà nhiều bạn không để ý đến. "Nghiệm" tức phương trình đó chỉ có 1 giá trị, mà nếu ráp 1 giá trị, ví dụ như $k2 \pi$ thì quả thật phương trình không ra cái gì cả vì $k$ không phải con số cố định. Còn "họ nghiệm" tức phương trình có nhiều nghiệm tuân theo 1 quy tắc, quy luật nào đó. Đối với phương trình lượng giác thì quy tắc đó là tính tuần hoàn của hàm lượng giác, từ đó giá trị $k$ tuy nhiều giá trị nhưng lại có nghĩa. Mình quên chấm phần này nên bạn nào kết luận là "nghiệm" thì mình trừ vào điểm số là $0.5$.

Em kết luận là "các nghiệm" giống như trong SGK thì có gì sai ạ, mong trọng tài xem xét.

[hoangtrong2305]

Em kết luận là "các nghiệm" giống như trong SGK thì có gì sai ạ, mong trọng tài xem xét

Ok xin lỗi bạn vì việc này, mình đã chỉnh lại điểm của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 16-02-2014 - 22:14

[motdaica]

anh ơi em thấy em bị trừ 1 điểm latex là hơi nặng ạ vì em chỉ bị 1 lỗi latex thôi mà anh có thể chỉ trừ 0,5 được ko ạ

[CD13]

anh ơi em thấy em bị trừ 1 điểm latex là hơi nặng ạ vì em chỉ bị 1 lỗi latex thôi mà anh có thể chỉ trừ 0,5 được ko ạ

 

Sao thế? Xin xỏ nữa cơ à! Trừ lỗi $Latex$ cũng chỉ cho các em cẩn thận khi trình bày bài toán, tập tành thói quen cẩn thận khi thi Đại học.

[motdaica]

Anh ơi có cập nhật bảng xếp hạng không ạ