Ta có thể vẽ một vòng tròn một cách sát, vừa khớp với những điểm nằm trong 1 đoạn của đường cong như hình dưới đây
Bán kính cong của 1 đường cong được định nghĩa là bán kính của 1 đường tròn trùng với 1 phần cung của đường cong. Tuy nhiên 1 đường cong thì có những cung khác nhau ứng với độ cong khác nhau. Vậy làm thế nào để xác định được sự thay đổi của bán kính cong?
Công thức bán kính cong ở bất kỳ điểm $x$ của đường cong $y=f(x)$ là:
Độ cong của một đường cong cho trước ở một số điểm nhất định là độ cong của một đường tròn trùng với 1 phần cung của đường cong tại các điểm đó. Trong bài viết này ta tạm gọi đó là đường tròn $\chi$
Độ cong phụ thuộc vào bán kính, bán kính càng nhỏ thì độ cong càng lớn (tiến tới các điểm ở cực biên). Bán kính càng lớn thì độ cong càng nhỏ. Từ đó ta suy luận được rằng nếu có một đường tròn $\chi$ rất lớn thì điều đó có nghĩa đường cong tại các điểm tương ứng với đường tròn $\chi$ gần như là một đường thẳng.
Bán kính cong $\Re$ có mối liên hệ mật thiết với chính độ cong đó. Cụ thể:
$$\Re =\frac{1}{K}$$
Vậy ta sẽ đi tìm độ cong đầu tiên, sau đó áp dụng công thức trên ta sẽ tìm ra được bán kính.
Giả sử $P;P_{1}$ là hai điểm khác nhau trên đường cong và ở rất gần nhau, ví dụ như hình dưới đây
Đặt $\Delta s$ là độ dài cung $PP_{1}$
Đặt $\Delta\theta$ là góc tạo bởi tiếp tuyến từ $P$ di chuyển đến $P_{1}$.
Độ cong của cung từ $P$ đến $P_{1}$ là $\frac{\Delta\theta }{\Delta s}$
Bây giờ cung $K$ tại $P$ xác định bởi
$$K=\lim_{\Delta \theta \rightarrow 0}\frac{\Delta \theta }{\Delta s}=\frac{d\theta }{ds}$$
Ta cần tìm $\frac{d\theta }{ds}$ bằng cách tách thành $\frac{d\theta }{ds}=\frac{d\theta }{dx}\frac{dx}{ds}$
Lưu ý rằng ta có $\tan \theta =\frac{dy}{dx}$ (công thức độ dốc của cung tại 1 điểm) nên $\theta =\arctan(\frac{dy}{dx})$
Vậy ta được $\frac{d\theta }{dx}=\frac{d}{dx}\arctan(\frac{dy}{dx})$
Ta có đạo hàm của $y=\arctan u;(u=f(x))$ là $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}}{1+u^{2}}$ (sẽ chứng minh trong các bài viết sau)
Với $u=\arctan\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}$, ta tiến hành vi phân như sau:
$$\frac{d\theta }{dx}=\frac{d}{dx}\arctan\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}=\frac{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}{1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2}}$$
Tiếp theo, ta tính $\frac{dx}{ds}$ bằng cách:
$$\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\frac{ds}{dx}}=\frac{1}{\sqrt{1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2}}}$$
Vậy ta được:
$$K=\frac{d\theta }{ds}=\frac{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}$$
Từ đó ta tính được bán kính cong là:
$$\Re =\frac{1}{K}=\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$$
Đương nhiên giá trị của bán kính phải là số dương nên ta lấy trị tuyệt đối mẫu số của phân số trên. Cuối cùng ta được:
$$\Re =\frac{1}{K}=\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \end{vmatrix}}$$
Ứng dụng thực tiễn: Khi các kỹ sư thiết kế đường ray xe lửa, họ cần phải bảo đảm độ cong của đường ray phải an toàn và đảm bảo được xe lửa chạy trên đường ray theo 1 tốc độ cho trước một cách trơn tru
Ví dụ 1: Xác định bán kính cong của hàm bậc 3:
$$y=2x^{3}-x+3$$
tại $x=1$
Trả lời
Spoiler
Đầu tiên ta cần vẽ đồ thị để tiện trong việc tính toán
$$y=2x^{3}-x+3$$
Bây giờ để tìm bán kính cong, ta cần:
$$\frac{dy}{dx}=6x^{2}-1$$
Sau đó:
$$\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2}=(6x^{2}-1)^{2}=36x^{4}-12x^{2}+1$$
Thay vào công thức bán kính cong, ta được kết quả:
$$\Re =\frac{1}{K}=\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \end{vmatrix}}$$
$$=\frac{\begin{pmatrix} 36x^{4}-12x^{2}+2 \end{pmatrix}^{\frac{3}{2}}}{|12x|}$$
Vậy bán kính cong tại $x=1$ là/;
$$\begin{bmatrix} \frac{\begin{pmatrix} 36x^{4}-12x^{2}+2 \end{pmatrix}^{\frac{3}{2}}}{|12x|} \end{bmatrix}_{x=1}=11,04787562$$
Bây giờ ta xem "thành phẩm" đạt được. Nhìn vào đồ thị dưới đây với đường cong (màu xanh) với đường tròn (màu đỏ đậm) nằm lên trên. Đường tròn trên là phù hợp nhất để trở thành đường tròn $\chi$ (đã được định nghĩa ban đầu) tại điểm $(1;4)$.
Ta có thể biểu diễn tâm đường tròn $\chi$ là $(-9,8;6,17)$
Dưới đây là hình ảnh động, biểu diễn về bán kính cong, có thể giúp bạn hiểu được về khái niệm thay đổi
bán kính cong là như thế nào
Nếu để ý kỹ bạn sẽ thế ở tại cái điểm uốn của đồ thị có những biến chuyển rất thú vị. Đó là vòng tròn thay đổi vị trí từ bên dưới đồ thị thành bên trên đồ thị (khi đi từ trái sang phải). Vậy nếu như điểm $P$ nằm ngay vị trí điểm uốn, teho bạn, chuyện gì sẽ xảy ra?
Ví dụ 2:
Giả sử ta có đồ thị được tạo thành bởi các điểm cho trước và ta không biết hàm số của đồ thị này. Vậy làm thế nào ta xác định được bán kính cong của đồ thị đó?
Lấy bất kỳ 3 điểm nhằm mường tượng cách thức giải quyết vấn đề. Giả sử 3 điểm đó là $(1;1),(2;3),(3;8)$
Ta sẽ giải quyết bài này theo ba cách khác nhau,
Cách 1:
Spoiler
Tính xấp xỉ bằng hình Parabola thích hợp và công thức vi tích phân
Ta có đồ thị gắn với 3 điểm $(1;1),(2;3),(3;8)$
Có một cách để tìm bán kính cong đó là tìm hình Parabola thích hợp đi qua 3 điểm này. Parabola là đường cong tuyệt hảo để xác định đường cong gần đúng nhất cho một số hữu hạn điểm
Theo chương trình toán cấp 2, đồ thị Parabola có dạng
$$y=ax^{2}+bx+c$$
Thay thế toạ độ ba điểm đã cho, giải hệ phương trình, ta được kết quả
$$y=1,5x^{2}-2,5x+2$$
Vậy ta được hình parabola sau
Xem như đây là hàm số ta cần tìm (chỉ đúng với một vài điểm cho trước), sử dụng công thức bán kính cong
$$\text{Bán kính cong}=\Re =\frac{1}{K}=\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \end{vmatrix}}$$
Ta xác định đạo hàm cấp 1 và cấp 2 và giá trị của chúng tại điểm giữa $(2;3)$
$$\frac{dy}{dx}=3x-2,5$$
Tại $x=2,\frac{dy}{dx}=3,5$
Đạo hàm cấp 2:
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=3$$
Vậy bán kính cong tại điểm giữa $(2;3)$ là
$$\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \end{vmatrix}}=16,08$$
Vậy ta đã tìm được hình parabola gần đúng nhất với hàm số ứng với hữu hạn điểm gần với những điểm đã cho, và từ đó ta cũng xác định được bán kính cong, cũng chính là bán kính đường tròn gần sát với đường cong, gần với các dữ liệu đã cho ban đầu.
Hình dưới đây biểu diễn 3 điểm, hình parabola ta tìm được và đường tròn ứng với độ cong tạo bởi ba điểm cho trước có bán kính $16,08$.
Cách 2: Sử dụng phép xấp xỉ tuyến tính và công thức vi tích phân
Spoiler
Ta có thể tính xấp xỉ giá trị $\frac{dy}{dx}$ tại điểm giữa $(2;3)$ như sau:
Độ dốc (hệ số góc) của đường thẳng đi qua 2 điểm $(1;1)$ và $(2;3)$ là:
$$m_{1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{1}=2$$
Độ dốc (hệ số góc) của đường thẳng đi qua 2 điểm $(2;3)$ và $(3;8)$ là:
$$m_{2}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5}{1}=5$$
Ta tính trị số trung bình của 2 giá trị độ dốc để ra được giá trị "thô" của $\frac{dy}{dx}$
$$\text{độ dốc trung bình}=\frac{2+5}{2}=3,5 \approx \frac{dy}{dx}$$
Với độ dốc của độ dốc (tức đạo hàm bậc 2), ta xác định tốc độ thay đổi độ dốc $m$ chia cho tốc độ thay đổi của $x$ trong khoảng $[1,5;2,5]$ (giá trị 2 biên là điểm giữa của 2 điểm mà đoạn thẳng đi qua)
$$\text{độ dốc của độ dốc}=\frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{5-2}{1}=3\approx \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$$
Khá là trùng hợp, giá trị xấp xỉ này lại chính xác với giá trị ta tính được ở cách 1
Thay thế các giá trị cần thiết vào công thức bán kính cong, ta được giá trị bằng gới giá trị tính được ở cách 1
$$\frac{\begin{bmatrix} 1+\begin{pmatrix} \frac{dy}{dx} \end{pmatrix}^{2} \end{bmatrix}^{\frac{3}{2}}}{\begin{vmatrix} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \end{vmatrix}}=16,08$$
Kiểm tra đáp án theo hình dưới đây, ta thấy đường tròn xấp xỉ $\chi$ (màu đỏ tối, tâm $D$, bán kính $16,08$) đi qua $3$ điểm cho trước. Điều này vẫn đúng khi ta lấy tốc độ trung bình chính xác hơn để có được giá trị phù hợp nhất cho đạo hàm bậc 1 và bậc 2.
Cách 3: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm
Spoiler
Đây chính là cách chính xác nhất để tìm bán kính cong. Bằng kiến thức toán phổ thông, ta dễ dàng xác định phương trình đường tròn đó.
Tổng quát, giá trị $x$ cho tâm đường tròn đi qua ba điểm $A(x_{1};y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3};y_{3})$ cùng với 2 đường thẳng có độ dốc $m_{1}$ và $m_{2}$ là:
$$x_{c}=\frac{m_{1}m_{2}(y_{1}-y_{3})+m_{2}(x_{1}+x_{2})-m_{1}(x_{2}+x_{3})}{2(m_{2}-m_{1})}$$
Công thức trên dựa theo việc tìm giao điểm các đường trung trực của 2 đương thẳng đi qua 3 điểm như hình dưới đây
Vậy với các điểm đã cho, ta tính được giá trị $x_{c}=-10,833$ (giá trị $m_{1};m_{2}$ tính ở công thức 2)
Với giá trị $y$ của tâm, công thức cho đường trục trực đầu tiên là
$$y_{\text{trung trực}}=-\frac{1}{m_{1}}(x-\frac{x_{1}+x_{2}}{2})+\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$$
Vậy với những điểm đã cho, ta tính được giá trị $y$ chỉ với việc thay số
$$y_{c}=8,1665$$
Vậy tâm đường tròn qua ba điểm $(1;1),(2;3),(3;8)$ là $(-10,83;8,17)$
Cuối cùng, ta xác định bán kính bằng cách tính khoảng cách từ tâm đến bất kỳ 1 trong 3 điểm đã cho. Ở đây tôi chọn $(1;1)$
$$\text{Bán kính}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$
$$\text{Bán kính}=13,834$$
Vậy ta đã tìm được bán kính đường tròn là $13,834$, đáp án này chính xác nhất và ta cũng có thể thấy sự khác biệt rõ so với cách 1 và 2.