Chủ đề này có 1 trả lời

[deathavailable]

Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=12 & & \\ xyzt=xy+xz+xt+yz+yt+zt+27 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-05-2015 - 11:33

[Mikhail Leptchinski]

Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ 

$\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=12 & & \\ xyzt=xy+xz+xt+yz+yt+zt+27 & & \end{matrix}\right.$

                                                               Lời giải hơi trâu

Vì $x,y,z,t>0$ nên áp dụng bất đẳng thức cô si 4 số ta có:

Phương trình 1:$12=x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}<=>3\geq \sqrt[4]{xyzt}<=>81\geq xyzt$(1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si 9 số cho phương trình (2) ta có:

$xyzt=xy+yz+xz+xt+yz+yt+zt+9+9+9\geq 9\sqrt[9]{(xyzt)^3.9^3}<=>(xyzt)^9\geq 9^{12}.(xyzt)^3<=>(xyzt)^6\geq 9^{12}<=>xyzt\geq 9^2=81$ (2)

Từ (1)(2) ta có:$xyzt=81$

Dấu bằng xảy ra khi:$x=y=z=t$

                                 $xy=yz=xz=xt=yz=yt=zt=9$

                                 $x+y+z+t=12$

<=>$x=y=z=t=3$

Do đó:nghiệm nguyên dương của hệ là:$x=y=z=t=3$

 

Góp ý:Mình nghĩ đề bài không cần cho $x,y,z,t$ nguyên dương vì khi sử dụng bất đẳng thức cô si đánh giá dấu bằng thì $x=y=z=t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 20-06-2015 - 13:09