Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Binh Le

Binh Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Number Theory & Geometry

Đã gửi 09-02-2014 - 21:54

Cho a,b,c là các số thực dương

Cmr  $a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 09-02-2014 - 21:56

๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ

 

                               


#2 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 09-02-2014 - 22:55

Cho a,b,c là các số thực dương

Cmr  $a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

 

 

 

 

$\sum \left(a\sqrt{bc}+a\sqrt{bc}+b^2 \right)\geq 3\sum \left(ab+bc+ca \right)$

 

giờ ta cần chứng minh: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

C/m:

$\sum \left( ab+bc\right)\geq 2\sum ab$

đến đây chắc OK rôi!

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 11:48


#3 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 10-02-2014 - 11:57

Ghi rõ ra đi cậu ,làm úp  mở vậy ai hiểu nổi ,latex còn lỗi nữa .Nhìn vô bó tay luôn !! giải thì ghi đàng hoàng ,rõ ràng dùm nhé .

Thân

 

OK. mình sẽ giải thích rõ ràng hơn.

 

áp dung AM-GM cho 3 số:

 


$a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2\geq 3\sqrt[3]{a\sqrt{ab}.a\sqrt{ab}.b^2}=3ab
\Rightarrow \sum \left(a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2 \right)\geq 3\left(\sum ab \right)\Leftrightarrow \sum a^2+2a\sqrt{bc}\geq 3\sum ab$

 

 

 

bây giờ để C/m bđt, thì chúng ta phải đi chứng minh:

$\sum \left(ab+bc \right)\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

 

ta đí Cm:

ta có:$ab+bc\geq 2\sqrt{ab.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

từ đây ta được:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

 

lần này chắc bạn hiểu rồi nhỉ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 13:46


#4 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2014 - 13:37

 đầu tiên, sorry vì mình giải hơi khó hiểu.

OK. mình sẽ giải thích rõ ràng hơn.

 

áp dung AM-GM cho 3 số:

 


$a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2\geq 3\sqrt[3]{a\sqrt{ab}.a\sqrt{ab}.b^2}=3ab
\Rightarrow \sum \left(a\sqrt{ab}+a\sqrt{ab}+b^2 \right)\geq 3\left(\sum ab \right)\Leftrightarrow \sum a^2+2a\sqrt{bc}\geq 3\sum ab$

 

 

 

bây giờ để C/m bđt, thì chúng ta phải đi chứng minh:

$\sum \left(ab+bc \right)\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

 

ta đí Cm:

ta có:$ab+bc\geq 2\sqrt{ab.bc}=2a\sqrt{bc}\Rightarrow \sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$

 

từ đây ta được:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c>0$

 

lần này chắc bạn hiểu rồi nhỉ!

giải sai ngay từ bước đầu tiên. Đề bài không có cái gì là a căn ab cả, không thể thay đổi đề bài thành dữ kiện khác



#5 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 10-02-2014 - 13:44

giải sai ngay từ bước đầu tiên. Đề bài không có cái gì là a căn ab cả, không thể thay đổi đề bài thành dữ kiện khác

ừ nhỉ! cảm ơn bạn nhé!

 

vậy thì làm thế này:

 

ta có: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$  đã cm ở trên.

 

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\sum a^2\geq \sum ab$

 

 

đến đây chắcổn rồi!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 13:46


#6 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2014 - 13:48

ừ nhỉ! cảm ơn bạn nhé!

 

vậy thì làm thế này:

 

ta có: $\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$  đã cm ở trên.

 

 

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: $\sum a^2\geq \sum ab$

 

 

đến đây chắcổn rồi!

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 



#7 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 10-02-2014 - 13:53

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

 

$\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$ chứ sao lại be hơn hoặc= được!



#8 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-02-2014 - 13:55

$\sum ab\geq \sum a\sqrt{bc}$ chứ sao lại be hơn hoặc= được!

bạn nên đọc kĩ lại nhé, mình nói là bđt ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng 



#9 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 10-02-2014 - 14:04

bạn nên đọc kĩ lại nhé, mình nói là bđt ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng 

 

giã sử ta có:

$a^2+b^2+c^2+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}\geq 2(ab+bc+ca)$

 

mà $2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca+a\sqrt{bc}+b\sqrt{ca}+c\sqrt{ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kaito Kuroba: 10-02-2014 - 14:05


#10 hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:darkness
  • Sở thích:???

Đã gửi 10-02-2014 - 20:23

như vậy cũng không được, bất đẳng thức ngược dấu do ab+bc+ca lớn hơn hoặc bằng chứ không  phải nhỏ hơn hoặc bằng 

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng



#11 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-02-2014 - 00:01

Mình nghĩ ý của bạn kaito kuroba là thế này

 giả sử bđt cần chứng minh đúng ta có

$\sum a^{2}+\sum a\sqrt{bc}\geq 2\sum ab\Rightarrow \sum a^{2}\geq 2\sum ab-\sum a\sqrt{bc}(1)$

$\sum a\sqrt{bc}\leq \sum ab$

nên từ (1) suy ra

$\sum  a^{2}\geq \sum ab$ luôn đúng

nếu giả sử bdt đúng thì cần CM làm gì nữa

với lại từ a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca thì cũng ko thể suy ra a^2+b^2+c^2+a căn bc + b căn ca + c căn ab > 2ab+2bc+2ca được do ab+bc+ca > a căn bc +b căn ca +c căn ab 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh