Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemathforever99]

Cho $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $M$ là điểm trên cung $BC$ không chứa điểm $A$.

Xác định vị trí của điểm $M$ để: $\frac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}$ đạt $GTLN$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 11-02-2014 - 11:38

[DarkBlood]

Cho $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$, $M$ là điểm trên cung $BC$ không chứa điểm $A$.

Xác định vị trí của điểm $A$ để: $\frac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}$ đạt $GTLN$

Phải là xác định điểm $M$ chứ nhỉ?

 

Áp dụng định lý Ptoleme, ta có $AB.MC+AC.MB=MA.BC$ hay $AB(MB+MC)=MA.BC$

 

Ta có

 

$\bullet\ MA.MB+MB.MC+MC.MA=MA(MB+MC)+MB.MC= \\ =\dfrac{(BM+CM)^2.AB}{BC}+MB.MC\geq MB.MC.\left ( \dfrac{4AB}{BC}+1 \right )$

 

$\bullet\ MA(MA+MB+MC)=MA\left ( MA+\dfrac{MA.BC}{AB} \right )= \\ =MA^2\left ( \dfrac{BC}{AB}+1 \right )\leq 4R^2.\left ( \dfrac{BC}{AB}+1 \right )$

Do đó

$\dfrac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}\leq \dfrac{MB.MC.4R^2.\left ( \dfrac{BC}{AB}+1 \right )}{MB.MC.\left ( \dfrac{4AB}{BC}+1 \right )} \\ \Leftrightarrow \dfrac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}\leq 4R^2.\dfrac{BC\left (AB+BC  \right )}{AB\left (4AB+BC  \right )}=\textrm{const}$

 

Vậy $\frac{MA.MB.MC(MA+MB+MC)}{MA.MB+MB.MC+MC.MA}$ đạt giá trị lớn nhất khi $MA$ đi qua $O,$ $MB=MC$ $\Leftrightarrow$ $M$ là điểm chính giữa cung $BC.$