Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Tung 126]

Tìm tất cả các hàm $f:Q\rightarrow Q$ thoả mãn :$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$

[trananh2771998]

Cho x=y ta được f(2x)=4f(x)

Cho x=2y ta được f(3x)=9f(x)

Cho x=y=0 ta được f(0)=0

Ta chứng minh quy nạp : f(nx)=$n^{2}$f(x) (1) ($n\epsilon N*$)

Với n=1 đúng

Giả sử đúng tới n .Ta có :

f((n+1)x)=f(nx+x)= -f((n-1)x) + 2f(nx) +2f(x) =$-(n-1)^{2}f(x)+ 2n^{2}f(x)+2f(x)=(n+1)^{2}f(x)$

Vậy (1) cũng đúng với n+1 ($n\epsilon N*$)

Từ đó ta có : f(1)=f($n\frac{1}{n}$)=$n^{2}f(\frac{1}{n})$ suy ra f($\frac{1}{n}$)=$\frac{f(1)}{n^{2}}$

tương tự f(m)=$n^{2}f(\frac{m}{n})$ suy ra $f(\frac{m}{n})=\frac{f(m)}{n^{2}}=\frac{m^{2}}{n^{2}}f(1)$

Tóm lại : f($\frac{m}{n}$)=($(\frac{m}{n})^{2}$)f(1)

Đặt f(1)=a suy ra f(x)=a$x^{2}$ với x>0 và x thuộc Q

với x<0 suy ra f(x)=f(-x)=a$(-x)^{2}$=a$(x)^{2}$

Vì f(0)=0 nên f(x)=a$x^{2}$

Thử lại thấy thoả mãn.Vậy f(x)=a$x^{2}$ với x thuộc Q với a là hằng số ($a\epsilon Q$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 13-02-2014 - 00:07