Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$
Chứng minh rằng $2\sum \frac{x}{y+z}\geq 3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}}$
Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$
Chứng minh rằng $2\sum \frac{x}{y+z}\geq 3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}}$
sử dụng bdt cauchy-schwarz vế trái , quy đồng vế phải ta đưa bdt đã cho về CM $\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ , bdt này thuần nhất nên chuẩn hoá $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}$ , thay vào và rút gọn ta được bất đẳng thức trở thành CM $(x+y+z)^{2}\leq 3$ (luôn đúng do $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =3$ )
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$
Chứng minh rằng $2\sum \frac{x}{y+z}\geq 3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}}$
Sử dụng đẳng thức sau :
$2\sum \frac{x}{y+z}-3=\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh
$\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}\geqslant \frac{\sum (x-y)^2}{(x+y+z)^2}$
$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{(x+z)(y+z)}-\frac{1}{(x+y+z)^2} \right ]\geqslant 0$
Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng với $x,y,z >0$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 13-02-2014 - 18:08
Sử dụng đẳng thức sau :
$2\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh
$\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}\geqslant \frac{\sum (x-y)^2}{(x+y+z)^2}$
$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{(x+z)(y+z)}-\frac{1}{(x+y+z)^2} \right ]\geqslant 0$
Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng với $x,y,z >0$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$
Vế phải sao không phải là $3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ mà lại là $\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ ???
Thử xem bài này nha
* Cho x,y là các số thỏa mãn:
(x2 + y2 + 1)2 - 4x2 - 5y2 + 3x2y2 +1 = 0
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: H = x2 + 2y2 - 3x2y2
CEO
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh