Chủ đề này có 5 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$

Chứng minh rằng $2\sum \frac{x}{y+z}\geq 3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}}$

[khonggiohan]

 sử dụng bdt cauchy-schwarz vế trái , quy đồng vế phải ta đưa bdt đã cho về CM $\frac{(x+y+z)^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{5(x^{2}+y^{2}+z^{2})+4(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ , bdt này thuần nhất nên chuẩn hoá $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}$ , thay vào và rút gọn ta được bất đẳng thức trở thành CM $(x+y+z)^{2}\leq 3$ (luôn đúng do $(x+y+z)^{2}\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) =3$ )

[25 minutes]

Cho $x,y,z\in \mathbb{R}^{+}$

Chứng minh rằng $2\sum \frac{x}{y+z}\geq 3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{\left ( \sum x \right )^{2}}$

Sử dụng đẳng thức sau : 

                     $2\sum \frac{x}{y+z}-3=\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh

             $\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}\geqslant \frac{\sum (x-y)^2}{(x+y+z)^2}$

     $\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{(x+z)(y+z)}-\frac{1}{(x+y+z)^2} \right ]\geqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng với $x,y,z >0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 13-02-2014 - 18:08

[duaconcuachua98]

Sử dụng đẳng thức sau : 

                     $2\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh

             $\sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}\geqslant \frac{\sum (x-y)^2}{(x+y+z)^2}$

     $\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{(x+z)(y+z)}-\frac{1}{(x+y+z)^2} \right ]\geqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng với $x,y,z >0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

Vế phải sao không phải là $3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ mà lại là $\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ ???

[25 minutes]

Vế phải sao không phải là $3+\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ mà lại là $\frac{\sum (x-y)^{2}}{(x+y+z)^{2}}$ ???

Đã fix

[HG98]

Thử xem bài này nha

* Cho  x,y là các số thỏa mãn:

(x² + y² + 1)² - 4x² - 5y² + 3x²y² +1 = 0

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: H = x² + 2y² - 3x²y²