Chủ đề này có 1 trả lời

[morningstar]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                $P=\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} + \frac{8}{\sqrt{3z+2x}}$

[luuvanthai]

Dự đoán dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{3}{2};z=1$

Vậy nên sau khi thế $z=4-x-y$ ta có 

$P=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{8}{\sqrt{12-(x+y+y+y)}}$

Theo cô si $P\geq \frac{4}{\sqrt[4]{\sqrt{xy^{3}}}}+\frac{8}{\sqrt{12-4\sqrt[4]{xy^{3}}}}$

Đặt $t=xy^{3}$

$f(t)=\frac{4}{\sqrt{t}}+\frac{4}{\sqrt{3-t}}\geq \frac{16}{\sqrt{t}+\sqrt{3-t}}\geq \frac{16}{\sqrt{2(3-t+t)}}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$

Kết thúc cm dấu = có được khi t=$\frac{3}{2}$......