Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{x(y+z)}{4-yz}\geq 2xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
quanghao98

quanghao98

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết

Bài 1 với x,y,z là các số thực dương

cho $x+y+z=3$..Chứng minh rằng:(giúp mình làm theo nhiều cách)

$\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(x+z)}{4-xz}+\frac{z(x+y)}{4-xy} \geq 2xyz$

Bài 2

cho x,y là các số thực thỏa mãn $2x-2\sqrt{2y+8}=4\sqrt{x+1}-y$.Tìm Max và Min của biểu thức sau:

 

$$P=4x+2y-16$$

 

 

 


I've got a dream,the day,I'll catch it,can do...don't never give up...if I dream,I can do it.

         All our DREAMS can come true if we have the courage to pursue them.


#2
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết

B1,

$\sum \frac{x(y+z)}{4-yz}\geq \sum \frac{2x\sqrt{yz}}{4-yz}= \sum \frac{2xyz}{4\sqrt{xy}-\sqrt{(yz)^{3}}}\geq 2xyz(\frac{9}{4\sum \sqrt{xy}-\sum \sqrt{(yz)^{3}}})(1)$

áp dụng bđt cô si ta có

$\sqrt{(yz)^{3}}+1+1\geq 3\sqrt{yz}$

cmtt ta có

$\sum \sqrt{(yz)^{3}}+6\geq 3\sum \sqrt{yz}\Rightarrow \sum \sqrt{(yz)^{3}}\geq 3\sqrt{yz}-6(2)$

từ (1)(2) ta có

$\sum \frac{x(y+z)}{4-yz}\geq 2xyz(\frac{9}{4\sum yz-(3\sum \sqrt{yz}-6)})= 2xyz(\frac{9}{\sum \sqrt{xy}+6})\geq 2xy(\frac{9}{\sum x+6})= 2xyz$

vậy được đpcm



#3
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

bdt tuong duong

$\frac{y+z}{yz(4-yz)}+\frac{x+z}{xz(4-xz)}+\frac{x+y}{xy(4-xy)}\geq 2$

$\frac{y+z}{yz(4-yz)}=(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{4-yz})\geq \frac{2}{\sqrt{yz}}(\frac{1}{4-yz})\geq \frac{4}{yz+1}\frac{1}{4-yz}$

$\sum \frac{1}{4-yz}\frac{1}{\frac{3yz}{2}+\frac{3}{2}}\geq\sum \frac{4}{(\frac{11}{2}+\frac{yz}{2})^{2}}\geq \frac{18}{3(\frac{33}{2}+\frac{xy+yz+xz}{2})}=\frac{1}{3}$

suy ra $\sum \frac{1}{4-yz}\frac{1}{yz+1}\geq \frac{1}{3}\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ dpcm



#4
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Bài 2

cho x,y là các số thực thỏa mãn $2x-2\sqrt{2y+8}=4\sqrt{x+1}-y$.Tìm Max và Min của biểu thức sau:

$$P=4x+2y-16$$

Từ giả thiết ta có $2x+y=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2y+8}=\sqrt{16x+16}+\sqrt{8y+32}$

Áp dụng AM-GM ta có

             $\sqrt{16x+16}+\sqrt{8y+32}\leqslant 2\sqrt{\frac{16x+16+8y+32}{2}}=\sqrt{2(16x+8y+48)}$

 $\Rightarrow 2x+y \leqslant \sqrt{2(16x+8y+48)}$

 $\Rightarrow 0\leqslant 2x+y\leqslant 8+4\sqrt{10}$

 $\Rightarrow -16\leqslant 2x+y-16\leqslant 4\sqrt{10}-8$

GTNN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} 2x+y=0\\ 16x+16=8y+32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=-1 \end{matrix}\right.$

GTLN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} 2x+y=8+4\sqrt{10}\\ 16x+16=8y+32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\\y= \end{matrix}\right.$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#5
Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết

Bài 1 với x,y,z là các số thực dương

cho $x+y+z=3$..Chứng minh rằng:(giúp mình làm theo nhiều cách)

$\frac{x(y+z)}{4-yz}+\frac{y(x+z)}{4-xz}+\frac{z(x+y)}{4-xy} \geq 2xyz$

 

$$\frac{x(y+z)}{4-xy}\ge \frac{2x\sqrt{yz}}{(2-\sqrt{yz})(2+\sqrt{yz})}= \frac{2xyz}{\sqrt{yz}(2-\sqrt{yz})(2+\sqrt{yz})} \\ \ge  \frac{2xyz}{\dfrac{(\sqrt{yz}+2-\sqrt{yz})^2}{4}.\left(2+\dfrac{y+z}{2}\right)}=\frac{4xyz}{y+z+4} \\ \implies VT\ge \sum \frac{4xyz}{x+y+4}=4xyz.\sum \dfrac{1}{x+y+4}\ge 2xyz$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 13-02-2014 - 11:43

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#6
DongLientb

DongLientb

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

GThiet: 4x - 4$\sqrt{2y+8}$=8$\sqrt{x+1}$ - 2y 

$\Leftrightarrow \left ( 2\sqrt{x+1} -2\right )^{2}+\left ( \sqrt{2y+8}-2 \right )^{2}=20$

Đặt $2\sqrt{x+1}=a \Rightarrow 4x=a^{2} -4$
$\sqrt{2y+8}=b\Rightarrow 2y=b^{2}-8$

$\left ( a-2\right )^{2}+\left ( b-2 \right )^{2}= 20$

Có P= 4x + 2y - 16

mình lm 1 cách khác nhưng đến đây rồi làm gì tiếp:

$= a^{2}-4+ b^{2}-8-16 = a^{2}+b^{2}-28$
 
đến đây rồi làm j tiếp hả bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DongLientb: 04-05-2014 - 07:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh