Bài 2
cho x,y là các số thực thỏa mãn $2x-2\sqrt{2y+8}=4\sqrt{x+1}-y$.Tìm Max và Min của biểu thức sau:
$$P=4x+2y-16$$
Từ giả thiết ta có $2x+y=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2y+8}=\sqrt{16x+16}+\sqrt{8y+32}$
Áp dụng AM-GM ta có
$\sqrt{16x+16}+\sqrt{8y+32}\leqslant 2\sqrt{\frac{16x+16+8y+32}{2}}=\sqrt{2(16x+8y+48)}$
$\Rightarrow 2x+y \leqslant \sqrt{2(16x+8y+48)}$
$\Rightarrow 0\leqslant 2x+y\leqslant 8+4\sqrt{10}$
$\Rightarrow -16\leqslant 2x+y-16\leqslant 4\sqrt{10}-8$
GTNN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} 2x+y=0\\ 16x+16=8y+32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=-1 \end{matrix}\right.$
GTLN đạt được khi $\left\{\begin{matrix} 2x+y=8+4\sqrt{10}\\ 16x+16=8y+32 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\\y= \end{matrix}\right.$