Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoa Hồng Lắm Gai]

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D thuộc AC; E thuộc AB). Lấy I là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC ở M, N. CM: HM=HN

[Yagami Raito]

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D thuộc AC; E thuộc AB). Lấy I là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC ở M, N. CM: HM=HN

Lời giải: Trước hết ta xét bài toán phụ sau : 

 

 

     

 Bài toán : Cho (O) một dây cung $AB$ với I trung điểm. Qua I xét 2 dây cung MN và PQ tùy ý sao cho các dây nằy cắt  Ab ở E và F. Chứng minh rằng $I$ trung điểm $EF$.

Chứng minh:

Gọi $K,T$ lần lượt là trung điểm của dây MP,NQ. ta có tứ giác $OIEK$ và $OIFT$ nội tiếp.

Suy ra: 

          $\angle EOI=\angle EKI$

          $\angle FOI=\angle ITF$

Mặt khác tam giác $IMP$ đồng dạng với $INQ$ và $IK,IT$ lần lượt là hai trung tuyến suy ra $\angle EKI= \angle ITN$

 

Do đó: $\angle EOI=\angle FOI$

Vậy tam giác OEF có OI vừa phân giác vừa đương cao nên nó làm tam giác cân. Suy ra $IE=IF$ (Q.E.D)

Trở lại bài toán : 

Kẻ đường tròn đường kính $BC$. Ta có tứ giác $BCDE$ nội tiếp theo bài toán con bướm có $d$ vuông góc với $IH$ nên $HM=HN$