1)Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng
(vẽ lặp điểm M, thay bằng T 
)
Kẻ GD đường kính, AG cắt BC tại T. J. K lần lượt là tiếp điểm tại AB, AC. Kẻ tiếp tuyến tại G của đường tròn cắt AB, AC lần lượt tại H và I
Ta có: Do I là giao điểm 2 tiếp tuyến của (O) nên IO là phân giác $\widehat{GOK}$, tương tự thì OC là phân giác $\widehat{KOD}$, mà 2 góc này kề bù nên $IO\perp OC$. $\bigtriangleup IOC$ vuông tại O có OK là đường cao nên $OK^2=IK.KC=IG.CD$
Chứng minh tương tự thì $OJ^2=GH.BD$ mà $IE=IF$ nên $GH.BD=IG.CD$$\Leftrightarrow \frac{GH}{IG}=\frac{CD}{BD}$
Mặt khác, ta có: $HI\parallel BC$ do cùng vuông góc với GD nên $\frac{GI}{TC}=\frac{AI}{AC}=\frac{AH}{AB}=\frac{HG}{BM}$$\Rightarrow \frac{GH}{IG}=\frac{BT}{TC}$
Vậy $\frac{CD}{BD}=\frac{BT}{TC}\Leftrightarrow \frac{CD}{BD}+1=\frac{BT}{TC}+1\Leftrightarrow \frac{BC}{BD}=\frac{BC}{TC} \Rightarrow BD=TC$, mà N là trung điểm BC nên N là trung điểm DT
Theo định lý đường trung bình trong tam giác thì $MO\parallel AT, ON\parallel AT$ nên theo tiên đề Ơ-clit thì 3 điểm M, O, N thẳng hàng(đpcm)
Tử Vụ, chàng còn nhớ không, lần đầu chúng ta gặp nhau, trời cũng mưa.
Gặp nhau dưới mưa, tựa như trong ý họa tình thơ.
Bên bờ dương liễu Giang Nam, dưới mái hiên ngói xanh, tầng tầng mưa phùn mông lung.
Lúc đó ta chỉ là một ca cơ không chút danh tiếng, mà chàng là vị Hầu gia quần là áo lượt nhàn tản.
Trong mưa gặp nhau, dây dưa cả đời.
Một đời Tang Ca như mưa bụi mông lung, vui sướng vì gặp được chàng, tan đi cũng vì chàng, bất hối.
~Tang Ca~
