Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
NLBean

NLBean

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$


:icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12: ~~~~~~~ :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12: 


#2
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

 

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#3
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

Dễ thấy rằng: $a_{n+1}^{2}=2n+1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}^{2}}$

Suy ra $a_{n+1}^{2}>2n+1$

Và ta cũng có: $2n+1>2n$

Suy ra : 

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}>\sqrt{2.1+1}+\sqrt{2.2+1}+...+\sqrt{2n+1}>\sqrt{2}\left ( 1+\sqrt{2} +...+\sqrt{n}\right )$

Với $n\ geq1$ ta luôn có:

  $\sqrt{n}>\frac{2}{3}\left ( n\sqrt{n} -\left ( n-1 \right )\sqrt{n-1}\right )$

Cho $n=2,...,n$ ta được

$\sum_{i=2}^{n} \sqrt{i}>\frac{2}{3}(n\sqrt{n}-1)$

Suy ra:

 $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{_{n}}}{n\sqrt{n}}>\left ( \frac{2}{3} +\frac{1}{3n\sqrt{n}}\right )\sqrt{2}$

Ta cũng có thể dễ chứng minh

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}<\frac{2\sqrt{2}}{3}\left [ \frac{n+1}{n}.\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+\frac{n-1}{n\sqrt{n}}\right]$

Sử dụng định lý kẹp ta có $lim\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$


:lol:Thuận :lol:

#4
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$

Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!


:lol:Thuận :lol:

#5
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!

Làm bừa thì lấy đâu ra ý tưởng, mình chỉ nghĩ đến định lý stolz-cesaro thôi!(mới học đấy mà, còn non và yếu lắm)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#6
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết


Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}{2a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n}}{a_{n}}$

do lim a= lim $\frac{1}{a}$, suy ra lim a =1 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sum a_{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}\left [ (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n} \right ]}{3n(n+1)+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}2n\sqrt{n}}{3n(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2n+2}}\frac{\sqrt{2n+2}2\sqrt{n}}{3(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{3}\sqrt{2}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 15-02-2014 - 00:17


#7
kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$

sử dụng stolz sai ở phần 2 



#8
thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

sử dụng stolz sai ở phần 2 

Bạn có tài liệu nào về giới hạn dãy số về định lý stolz không. Mình vẫn chưa biết cái này. Chỉ biết những cái cơ bản ak


:lol:Thuận :lol:

#9
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

sử dụng stolz sai ở phần 2 

uhm, anh cộng trừ nhầm mất, chắc phải về mẫu giáo học lại môn cộng trừ nhân chia.

Stolz-Cesaro theorem


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh