Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 NLBean

NLBean

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Bình Định
  • Sở thích:Toán ; Bóng bàn =))

Đã gửi 14-02-2014 - 21:42

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$


:icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12: ~~~~~~~ :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12: 


#2 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 14-02-2014 - 22:49

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

 

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#3 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-02-2014 - 22:50

Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

Dễ thấy rằng: $a_{n+1}^{2}=2n+1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}^{2}}$

Suy ra $a_{n+1}^{2}>2n+1$

Và ta cũng có: $2n+1>2n$

Suy ra : 

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}>\sqrt{2.1+1}+\sqrt{2.2+1}+...+\sqrt{2n+1}>\sqrt{2}\left ( 1+\sqrt{2} +...+\sqrt{n}\right )$

Với $n\ geq1$ ta luôn có:

  $\sqrt{n}>\frac{2}{3}\left ( n\sqrt{n} -\left ( n-1 \right )\sqrt{n-1}\right )$

Cho $n=2,...,n$ ta được

$\sum_{i=2}^{n} \sqrt{i}>\frac{2}{3}(n\sqrt{n}-1)$

Suy ra:

 $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{_{n}}}{n\sqrt{n}}>\left ( \frac{2}{3} +\frac{1}{3n\sqrt{n}}\right )\sqrt{2}$

Ta cũng có thể dễ chứng minh

$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}<\frac{2\sqrt{2}}{3}\left [ \frac{n+1}{n}.\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+\frac{n-1}{n\sqrt{n}}\right]$

Sử dụng định lý kẹp ta có $lim\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$


:lol:Thuận :lol:

#4 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 14-02-2014 - 22:59

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$

Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!


:lol:Thuận :lol:

#5 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 14-02-2014 - 23:08

Bạn có thể nói rõ ý tưởng của bạn không? Mình chưa hiểu ý của bạn!

Làm bừa thì lấy đâu ra ý tưởng, mình chỉ nghĩ đến định lý stolz-cesaro thôi!(mới học đấy mà, còn non và yếu lắm)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#6 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2014 - 23:43



Cho dãy số {an} được xác định bởi

$a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} (n \geq 1)$

Tìm $\lim \frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}$ và $\lim \frac{a_{1} + ... + a_{n}}{n\sqrt{n}}$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}-a_{n}}{\sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n+2}+\sqrt{2n}}{2a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{2n}}{a_{n}}$

do lim a= lim $\frac{1}{a}$, suy ra lim a =1 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sum a_{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}\left [ (n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n} \right ]}{3n(n+1)+1}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}2n\sqrt{n}}{3n(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{\sqrt{2n+2}}\frac{\sqrt{2n+2}2\sqrt{n}}{3(n+1)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{3}\sqrt{2}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 15-02-2014 - 00:17


#7 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-02-2014 - 00:18

Giải:

 

Mình làm ntn có đúng nữa không? Làm bừa..

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{2(n+1)}-\sqrt{2n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n}$$

 

$$\to L^2=\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{a_n}{\sqrt{2n}}\: \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{2}a_n} \right )=1\to L=1$$

 

$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \left ( \frac{\sqrt{2n}}{a_n}\: \frac{1}{\sqrt{2n}\left ( (n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n} \right )} \right )=0$$

sử dụng stolz sai ở phần 2 



#8 thuan192

thuan192

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trương thpt chuyên lê quý đôn,Bình định

Đã gửi 15-02-2014 - 00:39

sử dụng stolz sai ở phần 2 

Bạn có tài liệu nào về giới hạn dãy số về định lý stolz không. Mình vẫn chưa biết cái này. Chỉ biết những cái cơ bản ak


:lol:Thuận :lol:

#9 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 15-02-2014 - 13:24

sử dụng stolz sai ở phần 2 

uhm, anh cộng trừ nhầm mất, chắc phải về mẫu giáo học lại môn cộng trừ nhân chia.

Stolz-Cesaro theorem


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh