Cho a,b,c >0. Cm:
$\sum \sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Cho a,b,c >0. Cm:
$\sum \sqrt{\frac{a}{a+2b+3c}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$
Áp dụng BDT cauchy-scharz ta được BĐT tương đương
$\sqrt{(\sum (b+2c+3a))(\sum \frac{a}{(a+2b+3c)(b+2c+3a)}) }\leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{(6(a+b+c)(\sum \frac{a(c+2a+3b)}{(a+2b+3c)(b+2c+3a)(c+2a+3b)})}\leq \sqrt{\frac{3}{2}}$ . Khai triển và rút gọn ta được BĐT tương đương :
$a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)\geq 0 \Leftrightarrow -(a-b)(b-c)(c-a)\geq 0$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c \Rightarrow a-b\geq 0 ,b-c\geq 0, c-a\leq 0$ , từ đây suy ra đpcm.
Đời cho tôi 1 vai diễn lớn, chỉ hiềm nỗi tôi không hiểu nổi cốt truyện
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh