Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 15-02-2014 - 11:53

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             gt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              ds.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 15-02-2014 - 13:02

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 16-02-2014 - 01:29

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 16-02-2014 - 07:51

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 

Chỗ này đâu có đúng?


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#4 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 16-02-2014 - 07:54

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 

dòng trên không đúng.bạn có thể làm rõ thêm tí không?


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#5 tienduydh

tienduydh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 17-12-2014 - 16:11

Sao ít người thảo luận nhỉ.không sôi động lắm...

#6 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 09-12-2015 - 01:57

Câu 3:Do $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$ nên theo định lý trung gian tồn tại ít nhất 1   $x\in (x_{1};x_{2})$ (giả sử $x_{1}< x_{2}$) là nghiệm của $f(x)=0$

Trong các nghiệm đó phải có  $x_{0}$ sao cho tồn tại $\epsilon > 0$ đủ nhỏ để $x_{1}< x_{0}-\epsilon < x_{0}+\epsilon < x_{2}$ và 

với mọi $x\in (x_{0}-\epsilon ;x$_{0}$):f(x)< 0$

với mọi $x\epsilon (x^{0},x_{0}+\epsilon );f(x)> 0$ (TH ngược lại xét tương tự)

Đặt $g(x)=15f(x)+2f(x+\alpha )+2014f(x+2\alpha );\alpha \in (0;\frac{\epsilon }{3})$

$\Rightarrow g(x)$ liên tục

Chọn $x_{1}'\in (x_{0}-\epsilon ;x_{0}-2\alpha )\Rightarrow x,x+\alpha ,x+2\alpha \in (x_{0}-\epsilon ;x_{0})\Rightarrow g(x_{1}') < 0$

Chọn $x_{2}'\in (x_{0};x_{0}-2\alpha +\epsilon )\Rightarrow g(x_{2}')> 0$

Do $g(x_{1}').g(x_{2}')< 0$ nên pt g(x)=0 có tồn tại nghiệm ;chọn là x=b.Bài toán được chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 09-12-2015 - 02:00


#7 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2016 - 00:02

mọi người thảo luận câu 1 đi ạ



#8 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 06-01-2016 - 19:10

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             attachicon.gifgt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              attachicon.gifds.jpg

Chi chem moi gt thoi nhe!

Cau 6 Vì f liên tục trên \left [ 0;1 \right ] nên tồn tại M=maxf(x);x\epsilon\in \left [ 0;1 \right ]

Sử dụng tính liên tục của f ta có với \epsilon > 0  cho trứớc tồn tại \left [ a;b \right ]\subset \left [ 0;1 \right ]  để f(x)\geq M-\frac{\epsilon }{2} với mọi x\in \left [ a;b \right ]

Ta có (\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\leq \int_{0}^{1}Mdx=M (1)

(\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (\int_{b}^{b}(M-\frac{\epsilon }{2})^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (M-\frac{\epsilon }{2})(a-b)^{\frac{1}{n}}\geq M-\frac{\epsilon }{2}(2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm



#9 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-01-2016 - 21:46

câu 5 giải tích tớ nghĩ là;

Xét $g(x)=2013e^{\frac{x}{2013}}f(x)$ thì $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g'(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}=2014$.bây giờ nếu chứng minh được $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty$ thì áp dụng lhopital là xong.nhưng mình còn tắc chỗ đó.ai có cao kiến j ko?



#10 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 26-01-2016 - 10:59

câu 5 giải tích tớ nghĩ là;

Xét $g(x)=2013e^{\frac{x}{2013}}f(x)$ thì $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g'(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}=2014$.bây giờ nếu chứng minh được $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty$ thì áp dụng lhopital là xong.nhưng mình còn tắc chỗ đó.ai có cao kiến j ko?

5. Đặt $f(x)=2014 \prod_{i=1}^{2014} (x-x_i)$.

Sử dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức $g(x)$ tại 2014 điểm $x_i$ ta có:

$g(x)=\sum_{i=1}^{2014} \frac{ 2014 \prod_{j=1, j \neq i}^{2014} (x-x_j)}{f'(x_i)}.g(x_i)$

Đồng nhất hệ số ứng với đơn thức $x^{2013}$ ở cả 2 vế suy ra:

$2014=2014 \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}$

Suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 10:59


#11 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 26-01-2016 - 11:26

mọi người thảo luận câu 1 đi ạ

1. Viết lại biểu thức như sau:

$A=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2}{n(n+1)} .\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$

Áp dụng Stolz cho hai dãy $a_n=\sqrt[n]{x}-1$ và  $b_n=\frac{1}{n}$, hay dãy này thõa mãn điều kiện Stolz là giảm ngặt và có giới hạn bằng 0 nên theo định lý ta sẽ có:

$A=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{x}-1}{\frac{1}{n}}$. Chú ý rằng $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{x^t-1}{t}=lnx$ nên $A=lnx$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 15:08





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh