Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             gt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              ds.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 15-02-2014 - 13:02

$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3
ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 

Chỗ này đâu có đúng?


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#4
YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Mở đầu bằng câu dễ trước nhá

Ta thấy $f'(x)=g(x)$

Mặt khác $f(x)=\prod_{i=1}^{2014}(x-x_i)$

$\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{i=1}^{2014}\frac{1}{x-x_i}$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$

:mellow: 

dòng trên không đúng.bạn có thể làm rõ thêm tí không?


                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#5
tienduydh

tienduydh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Sao ít người thảo luận nhỉ.không sôi động lắm...

#6
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Câu 3:Do $f(x_{1}).f(x_{2})< 0$ nên theo định lý trung gian tồn tại ít nhất 1   $x\in (x_{1};x_{2})$ (giả sử $x_{1}< x_{2}$) là nghiệm của $f(x)=0$

Trong các nghiệm đó phải có  $x_{0}$ sao cho tồn tại $\epsilon > 0$ đủ nhỏ để $x_{1}< x_{0}-\epsilon < x_{0}+\epsilon < x_{2}$ và 

với mọi $x\in (x_{0}-\epsilon ;x$_{0}$):f(x)< 0$

với mọi $x\epsilon (x^{0},x_{0}+\epsilon );f(x)> 0$ (TH ngược lại xét tương tự)

Đặt $g(x)=15f(x)+2f(x+\alpha )+2014f(x+2\alpha );\alpha \in (0;\frac{\epsilon }{3})$

$\Rightarrow g(x)$ liên tục

Chọn $x_{1}'\in (x_{0}-\epsilon ;x_{0}-2\alpha )\Rightarrow x,x+\alpha ,x+2\alpha \in (x_{0}-\epsilon ;x_{0})\Rightarrow g(x_{1}') < 0$

Chọn $x_{2}'\in (x_{0};x_{0}-2\alpha +\epsilon )\Rightarrow g(x_{2}')> 0$

Do $g(x_{1}').g(x_{2}')< 0$ nên pt g(x)=0 có tồn tại nghiệm ;chọn là x=b.Bài toán được chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 09-12-2015 - 02:00


#7
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

mọi người thảo luận câu 1 đi ạ



#8
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 

$$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 

Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 

$$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 

$$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 

Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 

$$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 

Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 

$$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                             attachicon.gifgt.jpg

 

                                                                                MÔN ĐẠI SỐ

 

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau:

 

$x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và $\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$. Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

 

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

 

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

 

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

 

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

 

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

 

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

 

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

                                              attachicon.gifds.jpg

Chi chem moi gt thoi nhe!

Cau 6 Vì f liên tục trên \left [ 0;1 \right ] nên tồn tại M=maxf(x);x\epsilon\in \left [ 0;1 \right ]

Sử dụng tính liên tục của f ta có với \epsilon > 0  cho trứớc tồn tại \left [ a;b \right ]\subset \left [ 0;1 \right ]  để f(x)\geq M-\frac{\epsilon }{2} với mọi x\in \left [ a;b \right ]

Ta có (\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\leq \int_{0}^{1}Mdx=M (1)

(\int_{0}^{1}\left | f(x) \right |^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (\int_{b}^{b}(M-\frac{\epsilon }{2})^{n}dx)^{\frac{1}{n}}\geq (M-\frac{\epsilon }{2})(a-b)^{\frac{1}{n}}\geq M-\frac{\epsilon }{2}(2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm



#9
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

câu 5 giải tích tớ nghĩ là;

Xét $g(x)=2013e^{\frac{x}{2013}}f(x)$ thì $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g'(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}=2014$.bây giờ nếu chứng minh được $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty$ thì áp dụng lhopital là xong.nhưng mình còn tắc chỗ đó.ai có cao kiến j ko?



#10
HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

câu 5 giải tích tớ nghĩ là;

Xét $g(x)=2013e^{\frac{x}{2013}}f(x)$ thì $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g'(x)}{e^{\frac{x}{2013}}}=2014$.bây giờ nếu chứng minh được $\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty$ thì áp dụng lhopital là xong.nhưng mình còn tắc chỗ đó.ai có cao kiến j ko?

5. Đặt $f(x)=2014 \prod_{i=1}^{2014} (x-x_i)$.

Sử dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức $g(x)$ tại 2014 điểm $x_i$ ta có:

$g(x)=\sum_{i=1}^{2014} \frac{ 2014 \prod_{j=1, j \neq i}^{2014} (x-x_j)}{f'(x_i)}.g(x_i)$

Đồng nhất hệ số ứng với đơn thức $x^{2013}$ ở cả 2 vế suy ra:

$2014=2014 \sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}$

Suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 10:59


#11
HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

mọi người thảo luận câu 1 đi ạ

1. Viết lại biểu thức như sau:

$A=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n^2}{n(n+1)} .\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$

Áp dụng Stolz cho hai dãy $a_n=\sqrt[n]{x}-1$ và  $b_n=\frac{1}{n}$, hay dãy này thõa mãn điều kiện Stolz là giảm ngặt và có giới hạn bằng 0 nên theo định lý ta sẽ có:

$A=\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt[n]{x}-1}{\frac{1}{n}}$. Chú ý rằng $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{x^t-1}{t}=lnx$ nên $A=lnx$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 15:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh