Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn : $ n^{2} \mid 3 ^{n} +1 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 luantran1997

luantran1997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 15-02-2014 - 17:26

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-02-2014 - 13:54


#2 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 16-06-2018 - 23:05

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $

Giả sử tồn tại hữu hạn các số nguyên dương  $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ thỏa mãn bài và $p_{k}>p_{k-1}>...>p_{1}>1$

Chỉ ra $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ bất kỳ của $n$ thỏa mãn bài => $k\geq 2$

Nếu có số nguyên dương $n$ chẵn thỏa mãn đề bài khi đó $3^{n}+1\equiv 2(mod4)$ , $n^{2}\equiv 0(mod4)$ (vô lý)

=> tất cả các ước số nguyên tố của $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ đều là số lẻ

Đặt $a=LCM(p_{k},p_{k-1})$=> $a$ lẻ

=> $a$ lớn hơn tất cả các số $p_{i}$ bên trên 

mặt khác $\frac{a}{p_{k}},\frac{a}{p_{k-1}}$ đều là các số lẻ

=>$3^{a}+1\vdots 3^{p_{k}}+1\vdots p_{k}^{2}$

và $3^{a}+1\vdots 3^{p_{k-1}}+1\vdots p_{k-1}^{2}$

=> $3^{a}+1\vdots LCM(p_{k}^{2},p_{k-1}^{2})$

=> $3^{a}+1\vdots a^{2}$

=> $a$ là một số lớn hơn tất cả số kia tm bài

=> gs sai

=> có vô hạn $n$ thỏa mãn

P/s : Hình như có thể thay số $3$ bằng bất kỳ số nguyên dương lẻ khác $1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 17-06-2018 - 15:09

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-06-2018 - 22:41

Giả sử tồn tại hữu hạn các số nguyên dương  $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{k}$ thỏa mãn bài và $p_{k}>p_{k-1}>...>p_{1}>1$

Chỉ ra $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ bất kỳ của $n$ thỏa mãn bài => $k\geq 2$

...

Quan trọng là có "chỉ ra được $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ của $n$ thỏa mãn đề bài" hay không ~O)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-06-2018 - 22:47

Quan trọng là có "chỉ ra được $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ của $n$ thỏa mãn đề bài" hay không ~O)

Xin sửa lại là em chỉ tìm được 25 thỏa mãn đề bài .

Ngoài ra em vừa tìm được số 35 nữa. Không biết lần này em có nhầm lẫn nữa không.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-06-2018 - 22:56

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#5 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 17-06-2018 - 22:53

Quan trọng là có "chỉ ra được $2$ giá trị nguyên dương khác $1$ của $n$ thỏa mãn đề bài" hay không ~O)

Nếu như anh nói chả nhẽ đề sai, , vậy hỏi người ra đề ???  
A xem e chứng minh có nhầm chỗ nào ko


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 17-06-2018 - 23:13

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-06-2018 - 23:04

Xin sửa lại là em chỉ tìm được 25 thỏa mãn đề bài .

Ngoài ra em vừa tìm được số 35 nữa. Không biết lần này em có nhầm lẫn nữa không.

Ý bạn nói rằng $3^{25}+1$ chia hết cho $25^2$ và $3^{35}+1$ chia hết cho $35^2$ ?

Nếu như thế thì trước tiên $3^{25}+1$ và $3^{35}+1$ phải chia hết cho $5$

Nhưng $3^{25}+1$ tận cùng là $4$ và $3^{35}+1$ tận cùng là $8$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 17-06-2018 - 23:19

Nếu như anh nói chả nhẽ đề sai, , vậy hỏi người ra đề ???  
A xem e chứng minh có nhầm chỗ nào ko

Cách của bạn mình cũng nghĩ đến, nhưng thấy một lỗ hổng lớn là chưa tìm được $2$ số $n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 hozymary

hozymary

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 31-07-2018 - 10:42

Mình nghĩ không có nghiệm khác 1 đâu.

Dễ thấy $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ thì $p\neq 3$ và $3^n\equiv -1 \pmod p$

$\Rightarrow 3^{2n}\equiv 1 \pmod p$

Đặt $a = \text{ord}_p(3)$ thì ta được $a\mid 2n$. Tuy nhiên theo Fermat thì $3^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ nên $a\leq p-1$. Như vậy chỉ có hai trường hợp $a=2$ hoặc $a=1$.

Với $a=1\Rightarrow 3 \equiv 1 \pmod p \Rightarrow p\mid 2$

Với $a=2\Rightarrow 3^2\equiv 1\pmod p \Rightarrow p\mid 8$

Dễ thấy cả hai trưởng hợp này đều vô lý. Suy ra không có $n$ nguyên dương thỏa $n^2 \mid 3^n+1$.

Đổi đề lại một tí: $n \mid 3^n+1$ thì có vô số nghiệm dạng $n = 2\cdot 5^x$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh