Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$ .


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 datcoi961999

datcoi961999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 263 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:một chiến thắng đầy gian nan và vất vả trước hàng triệu đối thủ...
  • Sở thích:Sở là đứa nào mà lại hỏi tui!!!

Đã gửi 15-02-2014 - 21:43

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 10-08-2014 - 20:59

                 :dislike    :off: ZION   :off:  :like                                                                                     98efb2f1bfc2432fa006b3d7d9f1f655.0.gif

                                                    


#2 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 15-02-2014 - 21:48

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.

Bạn nhân mỗi phân thức tương ứng với a, b, c rồi thay abc bởi ab+bc+ca, mẫu số sẽ có dạng tích (a+b)(a+c) sau đó dùng Cauchy là được!


Đứng dậy và bước tiếp

#3 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 15-02-2014 - 21:59

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm



#4 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 15-02-2014 - 22:01

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

hình như bạn nhầm chỗ này



#5 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 15-02-2014 - 22:04

hình như bạn nhầm chỗ này

nhân a vào mẫu được $a^{2}+abc=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$



#6 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 15-02-2014 - 22:13

nhân a vào mẫu được $a^{2}+abc=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

nhầm



#7 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 15-02-2014 - 22:19

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.

cách khác

mấy lần trước làm sai lần nhưng đã sửa,lần này phải đúng làn đầu

ta có theo bất đẳng thức BCS 

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\left ( a+b+c \right )}$

ta cần chứng minh $4\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a+b+c \right )+abc\left ( a+b+c \right )$

$\Leftrightarrow 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}+2\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )\geq \sum a^{3}b+\sum ab^{3}+abc\left ( a+b+c \right )$

theo BĐT Cauchy ta có 

$\frac{a^{4}+a^{2}b^{2}}{2}\geq a^{3}b$

thiết lập các bất đăng thức tương tự như thế cộng lại ,kết hợp với bất đẳng thức cần chứng minh,ta được bất đẳng thức mới cần chứng minh là 

$2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )+\left ( ab+bc+ca \right )^{2}$

theo cauchy ta có 

 

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}$

cộng lại ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 15-02-2014 - 22:32


#8 chieckhantiennu

chieckhantiennu

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 621 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\textrm{12A3 THPT Quốc Oai}$ $\textrm{Hà Nội}$
  • Sở thích:Anime, Cartoon, nhạc EDM, USUK.

Đã gửi 10-08-2014 - 17:16

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

Cái đoạn bôi đỏ hình như có vấn đề thì phải.

Phải là $\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}$ chứ nhỉ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 10-08-2014 - 17:35

Đỗ Hoài Phương

Một số phận..

Facebook: https://www.facebook.com/phuong.july.969





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh