Chủ đề này có 7 trả lời

[datcoi961999]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 10-08-2014 - 20:59

[buitudong1998]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.

Bạn nhân mỗi phân thức tương ứng với a, b, c rồi thay abc bởi ab+bc+ca, mẫu số sẽ có dạng tích (a+b)(a+c) sau đó dùng Cauchy là được!

[Vu Thuy Linh]

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

[nguyentrungphuc26041999]

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

hình như bạn nhầm chỗ này

[Vu Thuy Linh]

hình như bạn nhầm chỗ này

nhân a vào mẫu được $a^{2}+abc=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

[nguyentrungphuc26041999]

nhân a vào mẫu được $a^{2}+abc=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

nhầm

[nguyentrungphuc26041999]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR: $$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$$

.

cách khác

mấy lần trước làm sai lần nhưng đã sửa,lần này phải đúng làn đầu

ta có theo bất đẳng thức BCS 

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc\left ( a+b+c \right )}$

ta cần chứng minh $4\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a+b+c \right )+abc\left ( a+b+c \right )$

$\Leftrightarrow 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}+2\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )\geq \sum a^{3}b+\sum ab^{3}+abc\left ( a+b+c \right )$

theo BĐT Cauchy ta có 

$\frac{a^{4}+a^{2}b^{2}}{2}\geq a^{3}b$

thiết lập các bất đăng thức tương tự như thế cộng lại ,kết hợp với bất đẳng thức cần chứng minh,ta được bất đẳng thức mới cần chứng minh là 

$2\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2}b^{2} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )+\left ( ab+bc+ca \right )^{2}$

theo cauchy ta có 

 

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( ab+bc+ca \right )\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}$

cộng lại ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 15-02-2014 - 22:32

[chieckhantiennu]

$\frac{a^{2}}{a+bc}=\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$

Áp dụng BĐT Cô si 3 số:

$\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{4}+\frac{a+c}{4}\geq \frac{3a}{4}$

CMTT =>$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}$ =>  đpcm

Cái đoạn bôi đỏ hình như có vấn đề thì phải.

Phải là $\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}$ chứ nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 10-08-2014 - 17:35