Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+6\geq (x+y+z)^{2}$

* * - - - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Binh Le

Binh Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho x,y,z là các số thực dương tm $xyz=1$

$Cmr$ $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6\geq (x+y+z)^{2}$

 


๖ۣۜI will try my best ๖ۣۜ

 

                               


#2
nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết

ta có theo GT suy ra 

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

ta có 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{9}$

bất đẳng thức cần chứng minh 

$\left ( x+y+z \right )^{3}+54\geq 9\left ( x+y+z \right )^{2}$

đặt $x+y+z=a$ $\left ( a\geq 3 \right )$

cần chứng minh $a^{3}+54\geq 9a^{2}$

áp dụng bất đẳng thức cauchy

$\frac{a^{3}}{2}+\frac{a^{3}}{2}+54\geq 9a^{2}$

đoạn cuối này sai rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 16-02-2014 - 12:59


#3
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

ta có theo GT suy ra 

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

ta có 

$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{9}$

bất đẳng thức cần chứng minh 

$\left ( x+y+z \right )^{3}+54\geq 9\left ( x+y+z \right )^{2}$

đặt $x+y+z=a$ $\left ( a\geq 3 \right )$

cần chứng minh $a^{3}+54\geq 9a^{2}$

áp dụng bất đẳng thức cauchy

$\frac{a^{3}}{2}+\frac{a^{3}}{2}+54\geq 9a^{2}$

bạn có thể nói rõ chỗ này đc không



#4
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

dùng PP đổi biến p,q,r

BĐT cần chứng minh tương đương.$p^{3}-3pq +9 \geq p^{2}$

lại có $p^{3}+9 \geq 4pq$ do đó ta  phải chưng minh $p^{3}+9 \geq 4p^{2}$

áp dụng AM -GM ta có $3\frac{p^{3}}{3}+9 \geq 4\sqrt[4]{\frac{p^{9}}{3}}\geq 4\sqrt[4]{p^{8}}= 4p^{2}$

suy ra BĐT đc cm


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh