Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 18-02-2014 - 14:23

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^4+b^4+c^4=3$.

   CMR:$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\leq 1$



#2 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-02-2014 - 04:47

bài toán này thiên về kĩ thuật hơn là ý tưởng

quy đồng mẫu số 2 biểu thức, thu được $49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc\leq 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-a^{2}b^{2}c^{2}$

tương đương $16+3(a+b+c)abc\geq a^{2}b^{2}c^{2}+8(ab+bc+ca)$

theo Schur, có $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$

tương đương $3+3abc(a+b+c)\geq (ab+bc)^{2}+(bc+ca)^{2}+ca(c+a)^{2}$15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$\geq 8(ab+bc+ca)-12$

suy ra $15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$

từ giả thiết, dễ dàng suy ra $a^{2}b^{2}c^{2}\leq 1$

suy ra $16+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)+1\geq 8(ab+bc+ca)+a^{2}b^{2}c^{2}$ đpcm 



#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 23-02-2014 - 08:05

bài toán này thiên về kĩ thuật hơn là ý tưởng

quy đồng mẫu số 2 biểu thức, thu được $49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc\leq 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-a^{2}b^{2}c^{2}$

tương đương $16+3(a+b+c)abc\geq a^{2}b^{2}c^{2}+8(ab+bc+ca)$

theo Schur, có $(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)(a+b+c)\geq (a+b+c)(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$

tương đương $3+3abc(a+b+c)\geq (ab+bc)^{2}+(bc+ca)^{2}+ca(c+a)^{2}$15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$\geq 8(ab+bc+ca)-12$

suy ra $15+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)$

từ giả thiết, dễ dàng suy ra $a^{2}b^{2}c^{2}\leq 1$

suy ra $16+3abc(a+b+c)\geq 8(ab+bc+ca)+1\geq 8(ab+bc+ca)+a^{2}b^{2}c^{2}$ đpcm 

Hoặc có cách khác như sau :

 Ta có:$\sum \frac{2}{4-ab}=\sum (1-\frac{2-ab}{4-ab})=\sum (1-\frac{(2-ab)(2+ab)}{(2+ab)(4-ab)})=\sum (1-\frac{4-a^2b^2}{-(ab-1)^2+9})\leq \sum (1-\frac{4-a^2b^2}{9})=\frac{15}{9}+\sum \frac{a^2b^2}{9}\leq \frac{15}{9}+\frac{\sum a^4}{9}=\frac{18}{9}=2= > \sum \frac{1}{4-ab}\leq 1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh